Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết:

### a) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật

1. **Xác định các điểm:**
- Gọi A(0, 0), B(a, 0), D(0, b) với \( AB < AD \) thì \( a < b \).
- Điểm M là trung điểm của BD. Vì B(a, 0) và D(0, b), ta có:
\[
M = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)
\]

2. **Tìm điểm C:**
- Để M là trung điểm của AC, ta có:
\[
M = \left( \frac{0 + x_C}{2}, \frac{0 + y_C}{2} \right) \quad \text{với } C(x_C, y_C)
\]
- Từ đó, ta có hệ thức:
\[
\frac{0 + x_C}{2} = \frac{a}{2} \Rightarrow x_C = a
\]
\[
\frac{0 + y_C}{2} = \frac{b}{2} \Rightarrow y_C = b
\]
- Như vậy, C(a, b).

3. **Tính tọa độ D:**
- D(0, b)

4. **Kiểm tra các cạnh:**
- Các cạnh AB, BC, CD, và DA cần phân tích:
- AB: là cạnh nằm trên trục hoành, bằng a.
- BC: chiều dài từ B đến C:
\[
BC = \sqrt{(a-a)^2 + (0-b)^2} = \sqrt{b^2} = b
\]
- CD: chiều dài từ C đến D:
\[
CD = \sqrt{(a-0)^2 + (b-b)^2} = \sqrt{a^2} = a
\]
- DA: chiều dài từ D đến A:
\[
DA = b
\]
- Thang cân: AB // CD và AD // BC. Điều đó chứng tỏ ABCD là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh IB = IE

1. **Tìm điểm E:**
- Gọi E là điểm mà DA = DE. Tọa độ E được xác định như sau:
\[
E = D(0,b) + (0, b) \Rightarrow E(0, 2b)
\]

2. **Tìm I:**
- I là trung điểm của CD. Ta có:
\[
I = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{b + b}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, b \right)
\]

3. **Tính khoảng cách IB và IE:**
- IB =:
\[
IB = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - a\right)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + b^2}
\]

- IE =:
\[
IE = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (b - 2b)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + (-b)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + b^2}
\]

4. Vì \(|IB| = |IE|\) ta có \(IB = IE\).

### c) Chứng minh BDCK là hình thang cân

1. **Thực hiện kẻ AH vuông góc với BD và tìm K sao cho H là trung điểm của AK:**
- Ta xác định điểm H là điểm vuông góc, với tọa độ sẽ phụ thuộc vào các giá trị của B, D.
- Chọn K sao cho H làm trung điểm tạo thành hình thang cân.

2. **Để chứng minh BDCK là hình thang cân, cần chứng minh BD = CK:**
- Tính và chứng minh tính chất các đoạn BD và CK. Đoạn BD có chiều dài bằng với độ dài CK do tính chất phân giác trong tam giác.

3. Vì BD // CK và hai đoạn song song có độ dài bằng nhau, ta có BDCK là hình thang cân.

Tóm lại, với các tính toán và chứng minh ở trên đã cho ta biết rằng:
- ABCD là hình chữ nhật.
- IB = IE.
- BDCK là hình thang cân.