Cho ΔABC cân tại A, lấy điểm D trên AB và điểm E trên tia đối của tia CA sao cho CE = BD. Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F. ΔDBF là tam giác gì? Chứng minh giác DCEF là hình bình hành

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước cần thiết.

### a) Chứng minh ΔDBF là tam giác gì?

1. **Tính chất của tam giác cân**: Trong ΔABC, AB = AC (vì ΔABC cân tại A).
2. **Đường thẳng DF**: Khi kẻ đường thẳng DF song song với AC, ta có ΔDBF có hai cạnh DB và BF.
3. **Cách tính độ dài**: Vì DF song song với AC và BC cắt tại F, thì theo tính chất của các tam giác đồng dạng (từ định lý cạnh đồng thời), ΔDBF sẽ có các cạnh tương ứng tỉ lệ với các cạnh của ΔABC.

Kết luận: ΔDBF sẽ là một **tam giác vuông** tại D (theo cách bố trí vuông góc từ hai cạnh).

### b) Chứng minh tứ giác DCEF là hình bình hành:

1. **Xét các cạnh CE và DF**: Từ định nghĩa CE = BD, và DF song song với AC, nên CE và DF sẽ bằng nhau.
2. **Xét các cạnh DE và CF**: Từ tính chất của các đường song song, ta có DE // CF.
3. **Định nghĩa tứ giác hình bình hành**: Một tứ giác được gọi là hình bình hành khi hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

Dựa trên các tính chất trên, ta có:
- CE = DF (do CE = BD)
- DE // CF và DF // AC

Kết luận: Các điều kiện đã đủ để chứng minh rằng tứ giác DCEF là một **hình bình hành**.

Vậy tứ giác DCEF là hình bình hành như yêu cầu của bài.