Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = \frac{3 - 4x}{x^{2} + 1} \), ta sẽ sử dụng cách tính đạo hàm.

1. **Tính đạo hàm của A**:
\[
A' = \frac{(x^2 + 1)(-4) - (3 - 4x)(2x)}{(x^2 + 1)^2}
\]

Đơn giản hóa biểu thức trên:
\[
A' = \frac{-4(x^2 + 1) - (6x - 8x^2)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x^2 - 6x - 4}{(x^2 + 1)^2}
\]

Đặt \( A' = 0 \):
\[
4x^2 - 6x - 4 = 0
\]

Thực hiện tính toán nghiệm:
\[
x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4)}}{2 \cdot 4} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{8} = \frac{6 \pm 10}{8}
\]
\[
x_1 = 2 \quad (nghiệm lớn) \quad x_2 = -\frac{1}{2} \quad (nghiệm nhỏ)
\]

2. **Tính giá trị A tại các điểm critial**:
- Tại \( x = 2 \):
\[
A(2) = \frac{3 - 4 \cdot 2}{2^2 + 1} = \frac{3 - 8}{4 + 1} = \frac{-5}{5} = -1
\]

- Tại \( x = -\frac{1}{2} \):
\[
A\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3 - 4 \left(-\frac{1}{2}\right)}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1} = \frac{3 + 2}{\frac{1}{4} + 1} = \frac{5}{\frac{5}{4}} = 4
\]

3. **Kiểm tra giới hạn khi \( x \to \pm \infty \)**:
\[
\lim_{x \to \pm \infty} A = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 - 4x}{x^2 + 1} = 0
\]

4. **Kết luận**:
- Giá trị lớn nhất của A là \( 4 \) tại \( x = -\frac{1}{2} \).
- Giá trị nhỏ nhất của A là \( -1 \) tại \( x = 2 \).

**Vậy giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức là:**
- Giá trị nhỏ nhất: \(-1\)
- Giá trị lớn nhất: \(4\)