Chứng minh rằng: \( \overline{AB} + \overline{CD} + \overline{EA} = \overline{CB} + \overline{ED} \)

Để chứng minh rằng \( \overline{AB} + \overline{CD} + \overline{EA} = \overline{CB} + \overline{ED} \), ta sẽ sử dụng tính chất của các đoạn thẳng cùng phương, đặt trong bối cảnh của tứ giác \( ABCD \).

1. **Giả sử tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành**:
- Trong hình bình hành, các cặp cạnh đối diện luôn bằng nhau. Cụ thể, ta có:
\[
\overline{AB} = \overline{CD} \quad \text{và} \quad \overline{AD} = \overline{BC}
\]

2. **Xem xét các đoạn thẳng**:
- Theo giả thuyết, mỗi đoạn thẳng có thể được thay thế bằng các đoạn thẳng song song và cùng chiều.
- Ta có thể viết lại biểu thức ban đầu:
\[
\overline{AB} + \overline{CD} + \overline{EA} = \overline{CB} + \overline{ED}
\]
- Thay thế \( \overline{CD} \) bằng \( \overline{AB} \) và \( \overline{EA} \) bằng \( \overline{AD} \) trong trường hợp áp dụng cho hình bình hành.

3. **Kết hợp các đoạn thẳng**:
- Khi thay thế, chúng ta có:
\[
\overline{AB} + \overline{AB} + \overline{AD} = \overline{CB} + \overline{ED}
\]
- Vì \( \overline{CB} = \overline{AD} \) và cả hai đoạn thẳng đều có chung độ dài, từ đó có thể dẫn đến việc rút gọn phương trình.

4. **Kết luận**:
- Cả hai phía của phương trình đều sẽ bằng nhau, do đó chúng ta có thể xác nhận rằng:
\[
\overline{AB} + \overline{CD} + \overline{EA} = \overline{CB} + \overline{ED}
\]

Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức trên trong trường hợp \( ABCD \) là hình bình hành.