Một lò xo có khối lượng không đáng kể có chiều dài tự nhiên l₁ = 40cm, độ cứng K = 50N/m. Đầu trên của lò xo được giữ cố định, đầu dưới treo một vật nhỏ có khối lượng m = 100g

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### a) Viết phương trình dao động của vật.

1. **Tính tần số dao động:**
- Khối lượng \( m = 100g = 0.1kg \)
- Độ cứng của lò xo \( K = 50 N/m \)

Tần số góc \( \omega \) của dao động điều hòa được tính bằng công thức:
\[
\omega = \sqrt{\frac{K}{m}} = \sqrt{\frac{50}{0.1}} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5} \text{ rad/s}
\]

2. **Tính biên độ \( A \):**
- Vận tốc cực đại \( V_{max} = 40\sqrt{5} \text{ cm/s} = 0.4\sqrt{5} \text{ m/s} \)

Công thức tính vận tốc cực đại:
\[
V_{max} = A \omega \implies A = \frac{V_{max}}{\omega} = \frac{0.4\sqrt{5}}{10\sqrt{5}} = 0.04 \text{ m} = 4 \text{ cm}
\]

3. **Viết phương trình dao động:**
- Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng \( x = 0 \).
- Vật qua vị trí \( x = 2cm \) và đang hướng lên, suy ra:
- Tại thời điểm \( t = 0 \), \( x(0) = 2 \text{cm} \).
- Vận tốc tại thời điểm đó là dương, vì vật đang đi lên.

Phương trình dao động có dạng:
\[
x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)
\]
Cần tìm pha \( \varphi \):
- Tại \( t = 0 \), \( x(0) = 4 \cos(\varphi) = 2 \), suy ra:
\[
\cos(\varphi) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \implies \varphi = \frac{\pi}{3}
\]
- Kỳ vọng vận tốc âm tại thời điểm này:
\[
V(0) = - A \omega \sin(\varphi) = - 0.04 \cdot 10\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Vận tốc dương với giá trị này, tức là phù hợp với điều kiện đã đề ra.

Vậy phương trình dao động là:
\[
x(t) = 4 \cos(10\sqrt{5} t + \frac{\pi}{3}) \text{ cm}
\]

### b) Tính chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo, lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động.

1. **Chiều dài lò xo ở vị trí cân bằng:**
- Lực kéo xuống do trọng lực: \( F_{g} = mg = 0.1 \cdot 10 = 1N \)
- Ở vị trí cân bằng, lực đàn hồi cân bằng với trọng lực:
\[
K \cdot x_{0} = mg \implies x_{0} = \frac{mg}{K} = \frac{1}{50} = 0.02 \text{ m} = 2 \text{ cm}
\]

2. **Chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo:**
- Chiều dài tối đa \( L_{max} = l_{1} + A + x_{0} = 40 \text{ cm} + 4 \text{ cm} + 2 \text{ cm} = 46 \text{ cm} \)
- Chiều dài tối thiểu \( L_{min} = l_{1} - A + x_{0} = 40 \text{ cm} - 4 \text{ cm} + 2 \text{ cm} = 38 \text{ cm} \)

3. **Lực đàn hồi cực đại và cực tiểu của lò xo:**
- Lực đàn hồi cực đại khi vật ở biên (khi x = 4 cm):
\[
F_{max} = K \cdot (x_{0}+A) = 50 \cdot (0.02 + 0.04) = 50 \cdot 0.06 = 3 \text{ N}
\]
- Lực đàn hồi cực tiểu (khi x = - A):
\[
F_{min} = K \cdot (x_{0}-A) = 50 \cdot (0.02 - 0.04) = 50 \cdot (-0.02) = -1 \text{ N}
\]

Vậy tổng kết lại:
- Phương trình dao động:
\[
x(t) = 4 \cos(10\sqrt{5} t + \frac{\pi}{3}) \text{ cm}
\]
- Chiều dài cực đại của lò xo là \( 46 \text{ cm} \) và cực tiểu là \( 38 \text{ cm} \).
- Lực đàn hồi cực đại là \( 3 \text{ N} \) và lực đàn hồi cực tiểu là \( -1 \text{ N} \).