Để tìm \( x \) trong phương trình \( 1 + 2 + 3 + \ldots + x = 820 \), ta sử dụng công thức tổng của dãy số tự nhiên:

\[
S_n = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Áp dụng vào bài toán:

\[
\frac{x(x + 1)}{2} = 820
\]

Nhân cả hai vế với 2:

\[
x(x + 1) = 1640
\]

Sắp xếp lại phương trình:

\[
x^2 + x - 1640 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai bằng công thức:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -1640 \):

\[
b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1640) = 1 + 6560 = 6561
\]

Tính căn bậc hai:

\[
\sqrt{6561} = 81
\]

Thay vào công thức:

\[
x = \frac{-1 \pm 81}{2}
\]

Tính hai nghiệm:

1. \( x = \frac{80}{2} = 40 \)
2. \( x = \frac{-82}{2} = -41 \) (loại)

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{40}
\]