Chứng minh 2+2^2+2^3+.....+2^20 chia hết cho 15 và 5

Để chứng minh rằng tổng \( S = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20} \) chia hết cho 15 và 5, trước tiên chúng ta sẽ tính giá trị của tổng \( S \).

Tổng \( S \) là một tổng hình học với công bội \( r = 2 \) và số hạng đầu tiên \( a = 2 \). Công thức tổng quát cho tổng của một dãy hình học là:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong trường hợp này, \( n = 20 \), \( a = 2 \), \( r = 2 \).

Do đó,

\[
S = 2 \frac{2^{20} - 1}{2 - 1} = 2(2^{20} - 1) = 2^{21} - 2
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng \( S = 2^{21} - 2 \) chia hết cho 5 và 15.

### Chứng minh chia hết cho 5

Để kiểm tra tính chia hết cho 5, chúng ta sẽ xem xét \( 2^{21} - 2 \mod 5 \).

Chúng ta biết rằng \( 2 \equiv 2 \mod 5 \) và \( 2^2 \equiv 4 \mod 5 \), \( 2^3 \equiv 3 \mod 5 \), \( 2^4 \equiv 1 \mod 5 \). Chúng ta nhận thấy rằng \( 2^4 \equiv 1 \), do đó:

\[
2^{20} \equiv 1 \mod 5 \quad \Rightarrow \quad 2^{21} \equiv 2 \mod 5
\]

Vậy,

\[
2^{21} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 5
\]

Do đó, \( 2^{21} - 2 \) chia hết cho 5.

### Chứng minh chia hết cho 3

Tiếp theo, để chứng minh chia hết cho 3, chúng ta sẽ xem xét \( 2^{21} - 2 \mod 3 \).

Chúng ta có \( 2 \equiv 2 \mod 3 \) và \( 2^2 \equiv 1 \mod 3 \). Do đó, \( 2^{21} \) sẽ có chu kỳ 2:

\[
21 \mod 2 \equiv 1 \quad \Rightarrow \quad 2^{21} \equiv 2 \mod 3
\]

Vậy,

\[
2^{21} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 3
\]

Như vậy, \( 2^{21} - 2 \) chia hết cho 3.

### Kết luận

Vì \( S = 2^{21} - 2 \) chia hết cho 5 và 3, nên \( S \) cũng chia hết cho \( 15 = 3 \times 5 \).

Tóm lại, \( S = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20} \) chia hết cho 15 và 5.