Để chứng minh tứ giác \( ABPN \) là hình thang cân, ta cần chỉ ra rằng hai cạnh bên \( AB \) và \( NP \) là song song và có độ dài bằng nhau.

1. **Tính chất của tam giác cân:**
Tam giác \( MNP \) là tam giác cân tại \( M \), do đó \( MN = MP \).

2. **Điểm đặt:**
- \( A \) là điểm trên \( MH \) (một đường cao từ \( M \) xuống \( NP \)).
- \( B \) là điểm trên \( MP \).
- Theo giả thiết, \( MA = MB \).

3. **Véc tơ từ điểm M đến các điểm A và B:**
Đặt \( MA = d \) (vì \( MA = MB \)):
- Khi đó, \( A \) cách \( M \) một khoảng \( d \) theo phương vuông góc với \( NP \).
- Đường \( MB \) cũng có độ dài \( d \).

4. **Xét các cạnh:**
- Vì \( HA \) vuông góc với \( NP \) nên \( HA \) song song với đường cao từ \( N \) đến \( MP \), có nghĩa là \( AB \) song song với \( NP \).
- Sử dụng tính chất của tam giác \( MNP \), có thể xác định rằng \( MA \) và \( MB \) sẽ đồng thời tạo ra các đoạn thẳng \( AN \) và \( BP \) cũng song song với các đoạn thẳng \( NP \).

5. **Hình thang cân:**
Vì \( AB \) song song với \( NP \) và \( MA = MB \), cùng với \( MN \) và \( MP \) là hai biên song song của tam giác cân, ta có \( NP = AB \).

Kết luận:
Từ những phân tích trên, ta thấy rằng tứ giác \( ABPN \) có hai cặp cạnh đối diện song song với nhau và độ dài hai cạnh \( AB \) và \( NP \) bằng nhau, do đó \( ABPN \) là hình thang cân.