Chứng tỏ rằng 3n+8/n+3 là phân số tối giản

Để chứng minh rằng phân số \(\frac{3n + 8}{n + 3}\) là phân số tối giản, chúng ta cần chứng minh rằng tử số và mẫu số có ước số chung lớn nhất (ƯCLN) là 1.

Đặt:
- Tử số: \(a = 3n + 8\)
- Mẫu số: \(b = n + 3\)

Ta cần tìm ƯCLN của \(a\) và \(b\). Một cách để làm điều này là sử dụng thuật toán Euclid để tìm ƯCLN.

Bắt đầu với:
\[
d = \gcd(a, b) = \gcd(3n + 8, n + 3)
\]

Chúng ta sẽ áp dụng thuật toán như sau:
\[
d = \gcd(3n + 8, n + 3) = \gcd(n + 3, (3n + 8) - 3(n + 3))
\]
Tính toán phần bên phải:
\[
(3n + 8) - 3(n + 3) = 3n + 8 - 3n - 9 = -1
\]
Vậy ta có:
\[
d = \gcd(n + 3, -1) = \gcd(n + 3, 1)
\]

Bởi vì 1 là ƯCLN của bất kỳ số nào với 1, ta có:
\[
\gcd(n + 3, 1) = 1
\]

Do đó, \(\gcd(3n + 8, n + 3) = 1\).

Kết luận: \(\frac{3n + 8}{n + 3}\) là phân số tối giản vì tử số và mẫu số không có ước chung nào lớn hơn 1.