Để tìm hai số tự nhiên \( a \) và \( b \) sao cho cả tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố, chúng ta cần kiểm tra các điều kiện cho tổng \( S = a + b \) và tích \( P = a \cdot b \).

Theo định nghĩa, số nguyên tố là số lớn hơn 1 chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ta có thể xét các trường hợp:

1. **Trường hợp \( a = 1, b = 1 \)**:
- \( S = 1 + 1 = 2 \) (nguyên tố)
- \( P = 1 \cdot 1 = 1 \) (không phải nguyên tố).

2. **Trường hợp \( a = 1, b = 2 \)** (hoặc ngược lại):
- \( S = 1 + 2 = 3 \) (nguyên tố)
- \( P = 1 \cdot 2 = 2 \) (nguyên tố).

3. **Các trường hợp khác**: Khi \( a \) và \( b \) lớn hơn 2, chúng ta có tổng là số chẵn (khi cả 2 số đều là số lẻ) hoặc số lẻ (khi ít nhất 1 số là số chẵn và 1 số là số lẻ). Tuy nhiên, cũng cần chú ý rằng tích cũng có thể trở thành số nguyên tố trong các trường hợp nhất định.

Từ các phân tích trên, một cặp số tự nhiên thỏa mãn điều kiện là \( (1, 2) \) hoặc \( (2, 1) \).

Vậy cặp số tự nhiên sao cho tổng và tích của chúng đều là số nguyên tố là \( (1, 2) \).