Để chứng minh rằng \( S = 1 + 5^2 + 5^4 + 5^6 + \ldots + 5^{2022} \) chia hết cho 313, ta có thể làm như sau:

Đầu tiên, nhận thấy rằng dãy số trong \( S \) là một chuỗi cấp số cộng với:

- Tham số đầu tiên: \( a = 1 \)
- Công bội: \( r = 5^2 = 25 \)
- Số hạng cuối: \( n = 1011 \) (tính từ 0 đến 2022, với bậc số mũ là bội đôi)

Công thức tổng của chuỗi cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Với \( a = 1 \), \( r = 25 \), và \( n = 1012 \), ta có:

\[
S = \frac{25^{1012} - 1}{25 - 1} = \frac{25^{1012} - 1}{24}
\]

Để chứng minh \( S \) chia hết cho 313, trước hết chúng ta xem xét \( 25^{1012} - 1 \) theo modulo 313.

Theo định lý nhỏ Fermat, vì 313 là số nguyên tố, ta có:

\[
25^{312} \equiv 1 \mod 313
\]

Do đó, ta cần tính \( 1012 \mod 312 \):

\[
1012 \div 312 \approx 3 \quad (312 \times 3 = 936)
\]
\[
1012 - 936 = 76 \Rightarrow 1012 \equiv 76 \mod 312
\]

Vậy mà \( 25^{1012} \equiv 25^{76} \mod 313 \).

Tiếp theo, chúng ta cần tính \( 25^{76} \mod 313 \). Ta có thể sử dụng phương pháp lũy thừa nhanh hoặc giải thích từng bước để mạnh mẽ hơn:

1. Tính \( 25^2 \):

\[
25^2 = 625
\]
\[
625 \mod 313 = 625 - 2 \times 313 = 625 - 626 = -1 \equiv 312 \mod 313
\]

2. Tính \( 25^4 \):

\[
25^4 = (25^2)^2 \equiv 312^2 \mod 313
\]

Ghi nhận rằng \( 312 \equiv -1 \mod 313 \):

\[
312^2 \equiv 1 \mod 313
\]

3. Tiếp theo, ta sẽ tính \( 25^8 \):

\[
25^8 = (25^4)^2 \equiv 1^2 = 1 \mod 313
\]

4. Bây giờ, ta tính tới \( 25^{76} \):

\[
25^{76} = 25^{64} \times 25^8 \times 25^4 \equiv 1 \times 1 \times 1 = 1 \mod 313
\]

Chúng ta đã tìm được:

\[
25^{1012} \equiv 1 \mod 313
\]

Do đó,

\[
25^{1012} - 1 \equiv 0 \mod 313
\]

Vì vậy \( \frac{25^{1012} - 1}{24} \) chia hết cho 313 nếu 24 có 313 không chia hết. Ta tính \( 24^{-1} \mod 313 \):

Ta kiểm tra sử dụng Euclid mở rộng rằng \(\text{GCD}(24, 313) = 1\) để tìm được rằng 24 có thể nghịch đảo mod 313.

Vậy nên khi \( 25^{1012} - 1 \equiv 0 \mod 313 \) và 24 không chia hết, kết luận cuối cùng là \( S \) chia hết cho 313.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng:

\[
S \text{ chia hết cho } 313.
\]