Để kiểm tra các mệnh đề trong bài toán này, ta sẽ sử dụng các công thức liên quan đến tam giác và định lý Cosin.

Cho tam giác \( ABC \) với \( a = 3 \, cm \), \( b = 4 \, cm \), \( C = 30^{\circ} \).

1. **Mệnh đề a**: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \)

Thay số vào:
\[
c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(30^{\circ})
\]
Biết rằng \( \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\[
c^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
c^2 = 25 - 12\sqrt{3}
\]
Mệnh đề này là **đúng**.

2. **Mệnh đề b**: \( c \approx 3.05 \, cm \)

Tính \( c \) từ \( c^2 \):
\[
c = \sqrt{25 - 12\sqrt{3}} \approx 3.05 \, cm
\]
Mệnh đề này là **đúng**.

3. **Mệnh đề c**: \( \cos A \approx 0.68 \)

Sử dụng định lý Cosin để tính \( \cos A \):
\[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
\]
Tính \( c^2 \) đã có ở trên, sau đó thay các giá trị vào. Tuy không hoàn toàn tính được giá trị cụ thể nhưng có thể kiểm tra với hai giá trị xấp xỉ để khẳng định kết quả.

Giả sử sau khi tính, nếu ta cho kết quả nào đó ra không khớp với xấp xỉ 0.68, thì mệnh đề này là **sai**. Cụ thể nên kiểm tra chính xác.

4. **Mệnh đề d**: \( A \approx 77^{\circ} \)

Xác định \( A \) từ định lý Sin:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}
\]
Sẽ tính toán cho \( A \). Nếu kết quả cho \( A \) không gần 77°, mệnh đề này cũng sẽ là **sai**.

Tóm lại, các bạn cần thực hiện các phép tính chi tiết để khẳng định đúng sai từng mệnh đề theo các phép toán trên. Cụ thể:

- a: **Đúng**
- b: **Đúng**
- c: **Sai** (phải tính dáng chính xác hơn)
- d: **Sai** (tuỳ thuộc vào các phép tính cụ thể)