Để tính tổng của các số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện \( -2023 < x \leq 2024 \), trước tiên ta xác định khoảng giá trị của \( x \):

- Giá trị nhỏ nhất của \( x \) là \( -2022 \) (do \( -2023 < x \)).
- Giá trị lớn nhất của \( x \) là \( 2024 \) (do \( x \leq 2024 \)).

Các số nguyên trong khoảng này là:
\[
-2022, -2021, \ldots, -1, 0, 1, 2, \ldots, 2023, 2024
\]

Bây giờ ta tính số lượng các số nguyên trong khoảng này:
- Số lượng số nguyên từ \( -2022 \) đến \( 2024 \) được tính bằng:
\[
2024 - (-2022) + 1 = 2024 + 2022 + 1 = 4047
\]

Tiếp theo, ta tính tổng các số nguyên từ \( -2022 \) đến \( 2024 \).

Tổng của các số nguyên từ \( -n \) đến \( n \) là \( 0 \) (do chúng có cặp đối xứng). Tuy nhiên, ở đây ta có thêm số \( 2024 \).

Vậy tổng các số từ \( -2022 \) đến \( 2024 \) có thể được phân chia như sau:
- Tổng từ \( -2022 \) đến \( 0 \):
\[
-2022 + (-2021) + \ldots + (-1) + 0 = -\frac{2022 \cdot (2022 + 1)}{2} = -\frac{2022 \cdot 2023}{2} = -2047553
\]
- Tổng từ \( 1 \) đến \( 2024 \):
\[
1 + 2 + \ldots + 2024 = \frac{2024 \cdot (2024 + 1)}{2} = \frac{2024 \cdot 2025}{2} = 2050690
\]

Sau đó, tổng toàn bộ sẽ là:
\[
-2047553 + 0 + 2050690 = 3137
\]

Vì vậy, tổng của các số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện là:
\[
\boxed{3137}
\]