Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9cm, CH = 4cm

Để giải bài toán về tam giác vuông ABC tại A với đường cao AH, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu:

1. **Tính độ dài AH:**
Sử dụng công thức tính độ dài của đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{BH \cdot CH}{AB}
\]
Ta có:
\[
BH = 9 \text{ cm}, \quad CH = 4 \text{ cm}
\]
Để tìm AH, ta cần tìm AB. Với BH và CH đã biết, chúng ta có thể tính AB bằng công thức Pythagore:
\[
AB = \sqrt{BH^2 + CH^2} = \sqrt{9^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97} \text{ cm}
\]
Do đó:
\[
AH = \frac{9 \cdot 4}{\sqrt{97}} = \frac{36}{\sqrt{97}} \text{ cm}
\]

2. **Gọi E, F là hình chiếu của H lên cạnh AB, AC:**
Từ tính chất của hình chiếu trong tam giác vuông, ta có:
\[
AE = AH \cdot \frac{AC}{AB}, \quad AF = AH \cdot \frac{AB}{AC}
\]

Chúng ta dùng định lý Pythagoras cho hai tam giác HAE và HAF:
- \( AE = AH \cdot \frac{CH}{AB} \)
- \( AF = AH \cdot \frac{BH}{AC} \)

Vậy:
\[
AE \cdot AB = AF \cdot AC
\]

3. **Chứng minh: \( BE = BC \cdot \cos B \):**
Tại H, độ dài BE:
\[
BE = BH
\]
Dựa vào định lý cos trong tam giác, ta có:
\[
BC \cdot \cos B = CH
\]

Dễ dàng thấy:
\[
BE = BC \cdot \cos B
\]

Tóm lại, các kết quả đã được tính toán và chứng minh theo các yêu cầu của bài toán.