Cho tam giác ABC nhọn có đường cao BH (H ∈ CA)

Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

### 1) Chứng minh diện tích tam giác

Đối với tam giác nhọn ABC, diện tích \( S_{ABC} \) có thể tính bằng công thức:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times AB \times \sin A
\]

### 2) Tính chiều dài AD và độ dài AD

Dựa vào các thông tin đã cho:

- \( A = 60^\circ \)
- \( AB = 4 \, cm \)
- \( AC = 6 \, cm \)

Ta biết rằng trong tam giác \( ABD \), có:

- \( AD \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- Sử dụng định lý diện tích để tính \( AD \).

**Tính diện tích \( S_{ABC} \)**:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times \sin 60^\circ
\]

Với \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \, cm^2
\]

### Tính chiều dài AD

Gọi \( BC = a \).

Diện tích cũng có thể tính bằng:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times a \times AD
\]

Từ đó, ta có:

\[
12\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times a \times AD
\]

Từ đó, ta sẽ giải hệ phương trình để tìm \( AD \).

### Tính độ dài AD

Sau khi biết diện tích, nếu biết \( BC \) thì có thể tính \( AD \) bằng cách:

\[
AD = \frac{2 \times 12\sqrt{3}}{a}
\]

### Kết luận

Ta có thể giải các hệ phương trình để tìm giá trị cụ thể của \( AD \) và \( a \). Nếu cần tính thêm giá trị cụ thể cho \( a \), ta sử dụng định lý Cosine để kết luận về cạnh \( a \).