Trong các dãy số (Un) cho bởi công thức tổng quát Un dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?

Để xác định dãy số nào là dãy số tăng, chúng ta cần xét sự thay đổi của các phần tử trong dãy số khi n tăng lên (tức là xem xét U(n+1) so với Un).

1. **a) \( U_n = -\frac{1}{2} n \)**:
- \( U_{n+1} = -\frac{1}{2} (n+1) = -\frac{1}{2} n - \frac{1}{2} \)
- So sánh \( U_{n+1} - U_n = \left(-\frac{1}{2} n - \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2} n\right) = -\frac{1}{2} \)
- \( U_{n+1} < U_n \), dãy này là dãy số giảm.

2. **b) \( U_n = n + 2 \)**:
- \( U_{n+1} = (n+1) + 2 = n + 3 \)
- So sánh \( U_{n+1} - U_n = (n + 3) - (n + 2) = 1 \)
- \( U_{n+1} > U_n \), dãy này là dãy số tăng.

3. **c) \( U_n = \frac{1}{3^n} \)**:
- \( U_{n+1} = \frac{1}{3^{n+1}} = \frac{1}{3 \cdot 3^n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3^n} \)
- So sánh \( U_{n+1} - U_n = \frac{1}{3^n} \left(\frac{1}{3} - 1\right) = -\frac{2}{3^n} \)
- \( U_{n+1} < U_n \), dãy này là dãy số giảm.

4. **d) \( U_n = \frac{1}{n+1} \)**:
- \( U_{n+1} = \frac{1}{(n+1) + 1} = \frac{1}{n+2} \)
- So sánh \( U_{n+1} - U_n = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+1} \)
- Để so sánh, ta có thể đưa về cùng mẫu:
\[
\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1) - (n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{-1}{(n+2)(n+1)} < 0
\]
- \( U_{n+1} < U_n \), dãy này cũng là dãy số giảm.

Tóm lại, chỉ có dãy **b) \( U_n = n + 2 \)** là dãy số tăng.