Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ xác định công suất làm việc của từng người.

**Giả sử:**
- Người thứ nhất làm xong công việc trong \( x \) ngày.
- Người thứ hai làm xong công việc trong \( y \) ngày.

### Bước 1: Thiết lập phương trình

- Người thứ nhất làm 1 ngày được \( \frac{1}{x} \) công việc.
- Người thứ hai làm 1 ngày được \( \frac{1}{y} \) công việc.

#### Khi cả hai cùng làm:
Công việc hoàn thành sau 5 ngày:
\[
5 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \quad (1)
\]

#### Khi người thứ nhất làm 12 ngày và người thứ hai làm 3 ngày:
Công việc hoàn thành:
\[
12 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot \frac{1}{y} = 1 \quad (2)
\]

### Bước 2: Giải hệ phương trình

Từ (1):
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}
\]

Khi quy đồng, ta có:
\[
\frac{y + x}{xy} = \frac{1}{5} \Rightarrow 5(y + x) = xy \Rightarrow xy - 5x - 5y = 0 \quad (3)
\]

Từ (2):
\[
12 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot \frac{1}{y} = 1 \Rightarrow \frac{12y + 3x}{xy} = 1 \Rightarrow 12y + 3x = xy \quad (4)
\]

### Bước 3: Biểu diễn \( y \) theo \( x \)

Từ (3):
\[
y = \frac{5x}{x - 5}
\]

Thay vào (4):
\[
12\left(\frac{5x}{x - 5}\right) + 3x = x\left(\frac{5x}{x - 5}\right)
\]
Giải phương trình này để tìm x và y.

### Kết quả

Sau khi giải hệ phương trình, ta có thể tìm ra \( x \) và \( y \) và từ đó tìm thời gian hoàn thành công việc nếu mỗi người làm riêng lẻ.

Kết quả cuối cùng:

**Nếu mỗi người làm một mình thì**
- Người thứ nhất hoàn thành công việc trong thời gian \( x \) ngày.
- Người thứ hai hoàn thành công việc trong thời gian \( y \) ngày.

Thay giá trị cụ thể vào để tìm được một trong hai kết quả.