Để xác định tính đúng sai của các khẳng định về hàm số \( f(x) = x + 5 + \frac{9}{x - 2} \), ta sẽ phân tích từng khẳng định như sau:

### Khẳng định a:
**Hàm số đã cho có tiệm cận xiên \( y = x + 5 \)**

- Tiệm cận đứng xảy ra tại \( x = 2 \) (do có phân số).
- Tiệm cận ngang không có, nhưng tiệm cận xiên là \( y = x + 5 \).
- **Khẳng định a là đúng**.

### Khẳng định b:
**Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; 5)\)**

- Tìm đạo hàm \( f'(x) = 1 - \frac{9}{(x - 2)^2} \).
- Thiết lập điều kiện \( f'(x) > 0 \):
\[
1 - \frac{9}{(x - 2)^2} > 0 \implies (x - 2)^2 > 9 \implies |x - 2| > 3.
\]
- Điều này dẫn đến \( x < -1 \) hoặc \( x > 5 \).
- Trong khoảng \((-1; 5)\), hàm số không đồng biến.
- **Khẳng định b là sai**.

### Khẳng định c:
**Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-2; -1]\) là 1.**

- Tính giá trị tại các đầu mút và trong khoảng:
- Tại \( x = -2 \):
\[
f(-2) = -2 + 5 + \frac{9}{-2 - 2} = 3 - \frac{9}{4} = 3 - 2.25 = 0.75.
\]
- Tại \( x = -1 \):
\[
f(-1) = -1 + 5 + \frac{9}{-1 - 2} = 4 - 3 = 1.
\]
- Giá trị lớn nhất là 1 tại \( x = -1 \).
- **Khẳng định c là đúng**.

### Khẳng định d:
**Gọi \( x_1, x_2 \) là lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số \( f(x) \). Khi đó có hai giá trị nguyên dương của \( m \) để \( m x_1 + m x_2 + 6 = 0 \).**

- Điểm cực đại và cực tiểu phải được xác định từ hàm số. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số có một cực tiểu tại \( x=2 \) và không có cực đại.
- Do đó không có hai giá trị \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn yêu cầu.
- **Khẳng định d là sai**.

### Kết luận:
- a: Đúng
- b: Sai
- c: Đúng
- d: Sai