Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) sao cho 5y^2 - x chia hết cho xy và x nhưng không chia hết cho 5

Để tìm tất cả các cặp số nguyên dương \( (x, y) \) sao cho \( 5y^2 - x \) chia hết cho \( xy \) và \( x \) nhưng không chia hết cho \( 5 \), chúng ta sẽ phân tích điều kiện này.

1. **Điều kiện chia hết cho \( xy \)**:
\[
5y^2 - x \equiv 0 \mod (xy)
\]
Điều này có nghĩa là \( 5y^2 \equiv x \mod (xy) \).

2. **Điều kiện chia hết cho \( x \)**:
\[
5y^2 - x \equiv 0 \mod (x)
\]
Tức là:
\[
5y^2 \equiv x \mod (x) \Rightarrow 5y^2 - x = kx
\]
với \( k \) là một số nguyên nào đó.

3. **Điều kiện không chia hết cho \( 5 \)**:
\[
x \not\equiv 0 \mod (5)
\]

Để giải hệ này, ta sẽ xem xét từng điều kiện và tìm giá trị thích hợp cho \( x \) và \( y \).

### Tìm giá trị cụ thể:
Bắt đầu với các giá trị nhỏ cho \( y \):

- **Khi \( y = 1 \)**:
\[
5(1^2) - x = 5 - x
\]
Để \( 5 - x \) chia hết cho \( x \):
\[
5 - x = kx \Rightarrow 5 = (k + 1)x \Rightarrow x = \frac{5}{k + 1}
\]
Với \( k = 0, 1, 2, \ldots \), ta chỉ có \( x = 5 \) (k = 0) chia hết cho 5, không thỏa mãn.

- **Khi \( y = 2 \)**:
\[
5(2^2) - x = 20 - x
\]
Ta có:
\[
20 - x = kx \Rightarrow 20 = (k + 1)x \Rightarrow x = \frac{20}{k + 1}
\]
Với các giá trị \( k = 1, 2, 3 \ldots \), ta có \( x = 20, 10, 5 \), trong đó chỉ có \( x = 10 \) không chia hết cho 5.

- **Khi \( y = 3 \)**:
\[
5(3^2) - x = 45 - x
\]
Ta có:
\[
45 - x = kx \Rightarrow 45 = (k + 1)x \Rightarrow x = \frac{45}{k + 1}
\]
Chỉ có \( x = 15, 9, 5 \), trong đó \( x = 9 \) không chia hết cho 5.

Tiếp tục như vậy với các giá trị của \( y \):

### Kết luận:
Ta sẽ lập danh sách các cặp \( (x, y) \) mà tỏa mãn điều kiện. Có thể lập trình hoặc tính theo cách thủ công để tìm ra các cặp chính xác cho các giá trị \( y \).

**Tìm cặp số cụ thể:**
- Cặp \( (x, y) = (10, 2) \)
- Cặp \( (x, y) = (9, 3) \)

Tiếp tục tìm kiếm cho \( y \) lớn hơn để có thêm cặp \( (x, y) \) thoả mãn.