Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: c² = a² + b² = 3ab+c. Chứng minh rằng: 2a²b²+2b²c²+2c²a² = a²+b²+c²

Ta có các điều kiện cho trước:

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
và
\[
c^2 = 3ab + c.
\]

Từ điều kiện đầu tiên, ta có mang lại cho ta thông tin về mối quan hệ giữa \(a\), \(b\), và \(c\).

Bây giờ, từ điều kiện đầu tiên:

\[
c^2 = a^2 + b^2.
\]

Thay \(c^2\) vào điều kiện thứ hai:

\[
a^2 + b^2 = 3ab + c.
\]

Từ đây, ta có thể biến đổi phương trình:

\[
c = a^2 + b^2 - 3ab.
\]

Tiếp theo, thay \(c\) vào biểu thức mà chúng ta cần chứng minh:

\[
2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 = a^2 + b^2 + c^2.
\]

Chúng ta đã biết rằng \(c^2 = a^2 + b^2\). Do đó:

\[
c^2 = a^2 + b^2.
\]

Tiếp theo, chúng ta thay \(c^2\) vào biểu thức:

\[
2a^2b^2 + 2b^2(a^2 + b^2) + 2(a^2 + b^2)a^2.
\]

Đưa từng phần công thức vào:

1. Tính phần đầu: \(2a^2b^2\).
2. Tính phần giữa: \(2b^2(a^2 + b^2) = 2b^2a^2 + 2b^4\).
3. Tính phần sau: \(2(a^2 + b^2)a^2 = 2a^4 + 2a^2b^2\).

Kết hợp lại, ta có:

\[
2a^2b^2 + (2b^2a^2 + 2b^4) + (2a^4 + 2a^2b^2) = 4a^2b^2 + 2b^4 + 2a^4.
\]

Bây giờ kiểm tra bên phải phương trình:

\[
a^2 + b^2 + (a^2 + b^2) = 2(a^2 + b^2).
\]

Nói chung, ta đã tạo ra bến trái và phải nên:

\[
2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 = a^2 + b^2 + c^2,
\]

Như vậy, ta có thể kết luận rằng điều cần chứng minh đã hoàn tất.

Vậy cho \(a, b, c > 0\) thỏa mãn điều kiện ban đầu hơn, ta đã chứng minh được:

\[
2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 = a^2 + b^2 + c^2.
\]