Để xác định xem \( B = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \) có chia hết cho 7 hay không, ta sẽ sử dụng công thức tổng cấp số nhân.

Công thức tổng của cấp số nhân \( a + ar + ar^2 + \ldots + ar^n \) là:

\[
S_n = a \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1}
\]

Trong trường hợp của chúng ta, với \( a = 2 \), \( r = 2 \), và số hạng cuối cùng là \( 2^{100} \) (tức là \( n = 100 - 1 = 99 \)), ta có:

\[
B = 2 \frac{2^{100} - 1}{2 - 1} = 2 (2^{100} - 1) = 2^{101} - 2
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra xem \( B = 2^{101} - 2 \) có chia hết cho 7 hay không. Để thực hiện điều này, chúng ta sẽ xem xét các số hạng \( 2^{n} \mod 7 \).

Tính toán giá trị của \( 2^n \mod 7 \):

- \( 2^1 \equiv 2 \mod 7 \)
- \( 2^2 \equiv 4 \mod 7 \)
- \( 2^3 \equiv 1 \mod 7 \)
- \( 2^4 \equiv 2 \mod 7 \)
- \( 2^5 \equiv 4 \mod 7 \)
- \( 2^6 \equiv 1 \mod 7 \)

Ta nhận thấy rằng chu kỳ của \( 2^n \mod 7 \) là 3. Cụ thể:

- Nếu \( n \equiv 0 \mod 3 \) thì \( 2^n \equiv 1 \mod 7 \)
- Nếu \( n \equiv 1 \mod 3 \) thì \( 2^n \equiv 2 \mod 7 \)
- Nếu \( n \equiv 2 \mod 3 \) thì \( 2^n \equiv 4 \mod 7 \)

Để tìm \( 2^{101} \mod 7 \), ta tính:

\[
101 \mod 3 = 2
\]

Do đó:

\[
2^{101} \equiv 4 \mod 7
\]

Bây giờ ta tính \( B \mod 7 \):

\[
B \equiv 2^{101} - 2 \mod 7 \equiv 4 - 2 \mod 7 \equiv 2 \mod 7
\]

Vì \( B \equiv 2 \mod 7 \), \( B \) không chia hết cho 7.

**Kết luận:** \( B = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \) không chia hết cho 7.