Tìm x; y nguyên: 5x - 3y = 2xy - y2

Để giải phương trình \( 5x - 3y = 2xy - y \), trước tiên chúng ta sắp xếp lại các hạng tử:

\[
2xy - y - 5x + 3y = 0
\]

Kết hợp các hạng tử lại, chúng ta có:

\[
2xy - 5x + 2y = 0
\]

Bây giờ, chúng ta có thể nhóm các hạng tử lại và giải theo y:

\[
y(2x + 2) = 5x
\]

Nếu \(2x + 2 \neq 0\), chúng ta có thể chia cả hai vế cho \(2x + 2\):

\[
y = \frac{5x}{2x + 2}
\]

Bây giờ, ta cần tìm các giá trị nguyên cho \(x\) và \(y\). Để \(y\) là số nguyên, \(5x\) phải chia hết cho \(2x + 2\). Ta cùng phân tích điều này.

Ta có thể đưa \(y\) vào dạng dễ kiểm tra hơn:

\[
y = \frac{5x}{2(x + 1)}
\]

\(5x\) phải chia hết cho \(2(x + 1)\), nghĩa là \(2(x + 1)\) phải là một ước của \(5x\).

Bây giờ, chúng ta thử các giá trị nguyên cho \(x\):

1. **Khi \(x = 0\)**:

\[
y = \frac{5 \cdot 0}{2(0 + 1)} = 0 \quad \Rightarrow (0, 0)
\]

2. **Khi \(x = 1\)**:

\[
y = \frac{5 \cdot 1}{2(1 + 1)} = \frac{5}{4} \quad \text{(không nguyên)}
\]

3. **Khi \(x = 2\)**:

\[
y = \frac{5 \cdot 2}{2(2 + 1)} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \quad \text{(không nguyên)}
\]

4. **Khi \(x = 3\)**:

\[
y = \frac{5 \cdot 3}{2(3 + 1)} = \frac{15}{8} \quad \text{(không nguyên)}
\]

5. **Khi \(x = 4\)**:

\[
y = \frac{5 \cdot 4}{2(4 + 1)} = \frac{20}{10} = 2 \quad \Rightarrow (4, 2)
\]

6. **Khi \(x = 5\)**:

\[
y = \frac{5 \cdot 5}{2(5 + 1)} = \frac{25}{12} \quad \text{(không nguyên)}
\]

7. **Khi \(x = 6\)**:

\[
y = \frac{5 \cdot 6}{2(6 + 1)} = \frac{30}{14} = \frac{15}{7} \quad \text{(không nguyên)}
\]

8. **Khi \(x = 7\)**:

\[
y = \frac{5 \cdot 7}{2(7 + 1)} = \frac{35}{16} \quad \text{(không nguyên)}
\]

9. **Khi \(x = -1\)**:

\[
y = \frac{5 \cdot (-1)}{2(-1 + 1)} = \text{không xác định}
\]

10. **Khi \(x = -2\)**:

\[
y = \frac{5 \cdot (-2)}{2(-2 + 1)} = \frac{-10}{-2} = 5 \quad \Rightarrow (-2, 5)
\]

Tóm lại, các cặp nghiệm nguyên của phương trình \(5x - 3y = 2xy - y\) là:

\[
(0, 0), (4, 2), (-2, 5)
\]