Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến, O là trung điểm của AM. BO cắt AC tại N. Tính tỉ số AN/NC; ON/BN?

Để tính tỷ số \( \frac{AN}{NC} \) và \( \frac{ON}{BN} \) trong tam giác ABC như đã cho, ta có thể sử dụng định lý về trung điểm và tính chất đường trung tuyến.

1. **Xác định điểm O**:
- O là trung điểm của AM, do đó \( AO = OM \).

2. **Tính tỷ số \( \frac{AN}{NC} \)**:
- Theo định lý tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AN}{NC} = \frac{AB}{BC}
\]
- Vậy, tỷ lệ này phụ thuộc vào độ dài các cạnh của tam giác ABC.

3. **Tính tỷ số \( \frac{ON}{BN} \)**:
- Tương tự, chúng ta có thể sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ABO với đường thẳng BN.
- Theo định lý Menelaus, ta có:
\[
\frac{AO}{OM} \cdot \frac{MB}{BN} \cdot \frac{NC}{CA} = 1
\]
- Biết rằng \( AO = OM \), suy ra \( \frac{AO}{OM} = 1 \), do đó:
\[
\frac{MB}{BN} \cdot \frac{NC}{CA} = 1
\]
- Điều này cho phép chúng ta tính được \( \frac{ON}{BN} \).

Từ các xét trên, có thể kết luận rằng để có kết quả chính xác cho các tỷ số này, cần biết thêm thông tin về độ dài các cạnh của tam giác ABC hoặc vị trí cụ thể các điểm A, B, C trong hệ trục tọa độ.