Để tìm giao của hai tập hợp \( A \) và \( B \), ta cần xác định \( A \cap B \).

Tập hợp \( A = (-\infty; -2] \) chứa tất cả các số thực nhỏ hơn hoặc bằng -2.
Tập hợp \( B = (-5; 3] \) chứa tất cả các số thực lớn hơn -5 và nhỏ hơn hoặc bằng 3.

Bây giờ, ta tìm giao điểm của hai tập hợp này:

1. \( A \) là tất cả các số \( x \) sao cho \( x \leq -2 \).
2. \( B \) là tất cả các số \( x \) sao cho \( -5 < x \leq 3 \).

Giao của hai tập hợp này sẽ là các số \( x \) mà vừa phải thoả mãn điều kiện của \( A \) vừa phải thoả mãn điều kiện của \( B \).

Do đó, ta có:

\[
A \cap B = (-5; -2]
\]

Bây giờ, ta tìm các giá trị nguyên trong tập hợp \( A \cap B \).

Các giá trị nguyên thỏa mãn đều nằm giữa -5 và -2, bao gồm:
-4,
-3,
-2.

Tính tổng các giá trị này:

\[
-4 + (-3) + (-2) = -4 - 3 - 2 = -9.
\]

Vậy tổng các giá trị nguyên của tập hợp \( A \cap B \) là \( \boxed{-9} \).