Miễn biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \[ \begin{cases} 2x + y \geq 2 \\ x - 2y \leq 1 \\ y \leq 2 \\ x \leq 3 \end{cases} \] có diện tích bằng?

Để giải bài toán này, chúng ta cần xét từng bất phương trình của hệ và vẽ chúng trên mặt phẳng tọa độ.

1. **Bất phương trình 1:** \(2x + y \geq 2\)
- Đường thẳng: \(y = -2x + 2\) (cắt trục y tại (0, 2) và cắt trục x tại (1, 0)).
- Giải bất phương trình: Nửa mặt phẳng trên đường thẳng.

2. **Bất phương trình 2:** \(x - 2y \leq 1\)
- Đường thẳng: \(y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\) (cắt trục y tại (-0.5) và cắt trục x tại (1, 0)).
- Giải bất phương trình: Nửa mặt phẳng dưới đường thẳng.

3. **Bất phương trình 3:** \(y \leq 2\)
- Đường thẳng: \(y = 2\) (cắt trục y tại (0, 2)).
- Giải bất phương trình: Nửa mặt phẳng dưới đường thẳng.

4. **Bất phương trình 4:** \(x \leq 3\)
- Đường thẳng: \(x = 3\) (thẳng đứng cắt trục x tại (3, 0)).
- Giải bất phương trình: Nửa mặt phẳng bên trái đường thẳng.

### Xác định giao điểm của các đường thẳng:
Giải hệ phương trình để tìm giao điểm:

- **Giao điểm của** \(2x + y = 2\) **và** \(x - 2y = 1\) :
- \(y = 2 - 2x\)
- Thay vào \(x - 2(2 - 2x) = 1 \Rightarrow x + 4x - 4 - 1 = 0 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1\).
- Khi đó \(y = 0\) → Giao điểm A(1, 0).

- **Giao điểm của** \(2x + y = 2\) **và** \(y = 2\):
- Thay vào \(2x + 2 = 2 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\).
- Giao điểm B(0, 2).

- **Giao điểm của** \(x - 2y = 1\) **và** \(y = 2\):
- Thay vào \(x - 4 = 1 \Rightarrow x = 5\) (không nằm trong điều kiện \(x \leq 3\)).

- **Giao điểm của** \(x - 2y = 1\) **và** \(x = 3\):
- Thay vào \(3 - 2y = 1 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1\) → Giao điểm C(3, 1).

- **Giao điểm của** \(y = 2\) **và** \(x = 3\):
- Giao điểm D(3, 2).

### Xác định hình đa giác:
Từ các giao điểm:
- A(1, 0)
- B(0, 2)
- C(3, 1)
- D(3, 2)

### Tính diện tích:
Sử dụng công thức tính diện tích của một hình đa giác theo tọa độ:

\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|
\]

- \(A(1, 0), B(0, 2), C(3, 1), D(3, 2)\):
\[
S = \frac{1}{2} \left| 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0 - (0 \cdot 0 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 2 + 0 + 6 + 0 - (0 + 6 + 3 + 2) \right|
= \frac{1}{2} \left| 8 - 11 \right| = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}
\]

### Kết luận:
Diện tích hình học của tập nghiệm là \( \frac{3}{2} \).