Chúng ta lần lượt chứng minh các phần yêu cầu.

### Phần 1: Chứng minh A không chia hết cho 2 và không chia hết cho 3.

#### Tính A:
A là tổng của một chuỗi cấp số nhân:
\[
A = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{100}
\]
Chuỗi này có thể được tính bằng công thức tổng của cấp số nhân:
\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]
Với \( a = 1 \), \( r = 5 \), và \( n = 101 \) (tổng cộng có 101 số hạng):
\[
A = 1 \cdot \frac{1 - 5^{101}}{1 - 5} = \frac{1 - 5^{101}}{-4} = \frac{5^{101} - 1}{4}
\]

#### Kiểm tra chia hết cho 2:
Để chứng minh A không chia hết cho 2, chúng ta cần kiểm tra giá trị của \( A \mod 2 \):
\[
5 \equiv 1 \mod 2 \implies 5^{101} \equiv 1^{101} \equiv 1 \mod 2
\]
Vậy:
\[
A \equiv \frac{5^{101} - 1}{4} \equiv \frac{1 - 1}{4} \equiv 0 \mod 2
\]
Do đó \(A\) không chia hết cho 2.

#### Kiểm tra chia hết cho 3:
Tiến hành kiểm tra \( A \mod 3 \):
\[
5 \equiv 2 \mod 3 \implies 5^{n} \equiv 2^{n} \mod 3
\]
Vậy ta cần tính:
\[
A \mod 3 = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100}
\]
Tương tự như trên, áp dụng công thức tổng cấp số nhân:
\[
A \equiv \frac{1 - 2^{101}}{1 - 2} = 1 - 2^{101}
\]
Kiểm tra \( 2^{101} \mod 3 \):
- Chu kỳ của \( 2^n \mod 3 \) là 2: \( 2^1 \equiv 2 \mod 3 \), \( 2^2 \equiv 1 \mod 3 \).
- Do đó:
- Nếu \( n \) chẵn: \( 2^n \equiv 1 \mod 3 \)
- Nếu \( n \) lẻ: \( 2^n \equiv 2 \mod 3 \)

Với \( n = 101 \) (lẻ):
\[
2^{101} \equiv 2 \mod 3 \implies 1 - 2^{101} \equiv 1 - 2 \equiv -1 \equiv 2 \mod 3
\]
Vậy \( A \) không chia hết cho 3.

### Phần 2: Chứng minh B chia cho 7 dư 3.

B là tổng của một chuỗi cấp số nhân khác:
\[
B = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2008}
\]
Sử dụng công thức tổng cấp số nhân:
\[
B = \frac{1 - 2^{2009}}{1 - 2} = 2^{2009} - 1
\]

#### Kiểm tra B mod 7:
Để kiểm tra \( 2^{2009} \mod 7 \), chúng ta sử dụng định lý Fermat. Theo định lý này, \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \) với \( p \) là số nguyên tố.
Với \( p = 7 \), ta có:
\[
2^6 \equiv 1 \mod 7
\]
Tính \( 2009 \mod 6 \):
\[
2009 = 6 \cdot 334 + 5 \implies 2009 \equiv 5 \mod 6
\]
Vậy:
\[
2^{2009} \equiv 2^5 \mod 7
\]
Tính \( 2^5 \):
\[
2^1 \equiv 2 \\
2^2 \equiv 4 \\
2^3 \equiv 1 \mod 7 \\
2^4 \equiv 2 \\
2^5 \equiv 4 \\
\]
Do đó:
\[
2^{2009} \equiv 4 \mod 7
\]
Vì vậy:
\[
B = 2^{2009} - 1 \equiv 4 - 1 \equiv 3 \mod 7
\]
Kết luận:
\[
B \mod 7 \equiv 3
\]

Tóm lại:
- \( A \) không chia hết cho 2, không chia hết cho 3.
- \( B \equiv 3 \mod 7 \).