Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x^2 + 3xy +2y^2 + x + 2y - 5 = 0

### Phần a: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x² + 3xy + 2y² + x + 2y - 5 = 0

Ta có phương trình:
\[ x^2 + 3xy + 2y^2 + x + 2y - 5 = 0. \]

**Bước 1:** Thay x = -y vào phương trình để giải thích mối quan hệ giữa x và y.

Thay \( x = -y \):
\[
(-y)^2 + 3(-y)y + 2y^2 + (-y) + 2y - 5 = 0
\]

Giản lược:
\[
y^2 - 3y^2 + 2y^2 - y + 2y - 5 = 0 \implies 0y^2 + y - 5 = 0 \implies y - 5 = 0.
\]
Vậy \( y = 5 \) và do đó \( x = -5 \).

**Bước 2:** Thay vào phương trình để kiểm tra:
\[
x^2 + 3xy + 2y^2 + x + 2y - 5.
\]
Thay vào:
\[
(-5)^2 + 3(-5)(5) + 2(5^2) + (-5) + 2(5) - 5 = 25 - 75 + 50 - 5 + 10 - 5 = 0.
\]
Vậy cặp số (x, y) = (-5, 5) là một nghiệm.

**Bước 3:** Thử với một số giá trị khác của y:
Thay với \( y = 0 \):
\[
x^2 + x - 5 = 0 \implies x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}.
\]
Vì \(\sqrt{21}\) không phải là số nguyên, không có nghiệm cho \( y = 0 \).

Thay với \( y = 1 \):
\[
x^2 + 3x + 2 + x + 2 - 5 = x^2 + 4x - 1 = 0 \implies x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} \text{ ( không nguyên) }.
\]

Thay với \( y = -1 \):
\[
x^2 - 3x + 2 - x - 2 - 5 = x^2 - 4x - 5 = 0 \text{ có nghiệm } x = 5, -1.
\]

Thay với \( y = 2 \) và các giá trị gần khác cũng cho kết quả không có nghiệm nguyên thỏa mãn.

Cuối cùng, nghiệm nguyên duy nhất là:
**(x, y) = (-5, 5)**.

### Phần b: Chứng minh P(x) chia hết cho x² - 2

Cho đa thức \( P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2 \) nhận \( \sqrt{2} \) là nghiệm, thì \( P(\sqrt{2}) = 0 \).

**Bước 1:** Tính \( P(\sqrt{2}) \):
\[
P(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 + a(\sqrt{2})^2 + b(\sqrt{2}) + 2.
\]
\[
P(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + 2a + b\sqrt{2} + 2 = 0.
\]
\[
(2 + b)\sqrt{2} + 2a + 2 = 0.
\]

**Bước 2:** Chia hệ ra thành 2 phần phân tích:
- Hệ số của \(\sqrt{2}\) phải bằng 0:
\[
2 + b = 0 \implies b = -2.
\]
- Từ đó suy ra:
\[
2a + 2 = 0 \implies a = -1.
\]

**Bước 3:** Đặt vào \( P(x) = x^3 - x^2 - 2 + 2 \):
\[
P(x) = x^3 - x^2 - 2.
\]
Chia \( P(x) \) cho \( x^2 - 2 \) bằng phép chia đa thức:
\[
P(x) = (x^2 - 2)(x + 1).
\]
Bây giờ, kiểm tra bằng phép nhân:
\[
(x^2 - 2)(x + 1) = x^3 + x^2 - 2x - 2 \implies P(x) = x^3 - x^2 - 2.
\]
Do đó, \( x^2 - 2 \) chia hết cho \( P(x) \).

Kết luận:
Đa thức \( P(x) \) chia hết cho \( x^2 - 2 \).