Để chứng minh rằng \( 2A + 3B \) chia hết cho 13, chúng ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho cho \( A \) và \( B \).

Từ điều kiện \( A \) chia hết cho 39 dư 2, chúng ta có thể viết \( A \) dưới dạng:

\[
A = 39k + 2
\]

với \( k \) là một số tự nhiên.

Tương tự, từ điều kiện \( B \) chia hết cho 52 dư 3, ta có thể viết \( B \) dưới dạng:

\[
B = 52m + 3
\]

với \( m \) là một số tự nhiên.

Bây giờ, chúng ta sẽ thay giá trị của \( A \) và \( B \) vào biểu thức \( 2A + 3B \):

\[
2A + 3B = 2(39k + 2) + 3(52m + 3)
\]

Tiến hành tính toán:

\[
2A + 3B = 2 \cdot 39k + 4 + 3 \cdot 52m + 9
\]

\[
= 78k + 3 \cdot 52m + 4 + 9
\]

\[
= 78k + 156m + 13
\]

Ta có thể viết lại biểu thức này như sau:

\[
2A + 3B = 78k + 156m + 13 = 13(6k + 12m + 1)
\]

Rõ ràng, \( 2A + 3B \) có dạng \( 13n \) với \( n = 6k + 12m + 1 \), do đó, \( 2A + 3B \) chia hết cho 13.

Vậy ta đã chứng minh \( 2A + 3B \) chia hết cho 13.