Chúng ta sẽ lần lượt giải từng phần trong bài toán.

### Câu 1
a. Tính \( A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^{2000} \)

Đây là một tổng cấp số nhân với số hạng đầu \( a = 1 \) và tỷ số \( q = 3 \).
Số hạng cuối là \( 3^{2000} \).

Công thức tổng của cấp số nhân:
\[
S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}
\]
trong đó \( n \) là số hạng. Ở đây \( n = 2001 \) (từ \( 3^0 \) đến \( 3^{2000} \)):
\[
A = \frac{1(1 - 3^{2001})}{1 - 3} = \frac{1 - 3^{2001}}{-2} = \frac{3^{2001} - 1}{2}
\]

b. Tính \( D = 1 + 2^2 + 2^4 + ... + 2^{2020} \)

Đây cũng là một tổng cấp số nhân với số hạng đầu \( a = 1 \) và tỷ số \( q = 2^2 = 4 \).
Số hạng cuối là \( 2^{2020} \), và số hạng là:
\[
n = \frac{2020}{2} + 1 = 1011
\]

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân:
\[
D = \frac{1(1 - 4^{1011})}{1 - 4} = \frac{1 - 4^{1011}}{-3} = \frac{4^{1011} - 1}{3}
\]

### Câu 39
Chứng minh rằng:

a. \( A = 5^5 - 5^4 + 5^3 \) chia hết cho 7.

Trước tiên, tính giá trị \( A \):
\[
A = 5^5 - 5^4 + 5^3 = 5^3(5^2 - 5 + 1)
\]
Tính toán modulo 7:

\[
5 \equiv -2 \mod 7 \implies 5^2 \equiv 4 \mod 7, \quad 5^3 \equiv -1 \mod 7, \quad 5^4 \equiv 3 \mod 7, \quad 5^5 \equiv 1 \mod 7
\]
Do đó:
\[
A \equiv 1 - 3 - 1 \equiv -3 \equiv 4 \mod 7
\]
\( A \) không chia hết cho 7.

b. \( B = 7^6 + 7^5 - 7^4 \) chia hết cho 11.

Tính toán tương tự:
\[
7 \equiv 7 \mod 11 \implies 7^2 \equiv 5 \mod 11, \quad 7^3 \equiv 3 \mod 11, \quad 7^4 \equiv 10 \mod 11, \quad 7^5 \equiv 9 \mod 11, \quad 7^6 \equiv 4 \mod 11
\]
Do đó:
\[
B \equiv 4 + 9 - 10 \equiv 3 \mod 11
\]
\( B \) không chia hết cho 11.

c. \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{2004} \) chia hết cho 15.

Tính tổng:
Sử dụng công thức tương tự:
\[
A = \frac{2(1 - 2^{2004})}{1 - 2} = 2^{2005} - 2
\]

Khi chia cho 3, \( 2^{2005} \mod 3 \equiv 1 \), và khi chia cho 5, \( 2^{2005} \mod 5 \equiv 2 \).
Do đó \( A \equiv 0 \mod 3 \) và \( A \equiv 0 \mod 5 \).
Vì vậy, \( A \) chia hết cho 15.

d. \( Q = 6 + 6^2 + 6^3 + ... + 6^{99} \) chia hết cho 43.

Tính tổng:
\[
Q = \frac{6(1 - 6^{99})}{1 - 6}
\]
Kiểm tra modulo 43, \( 6^{42} \equiv 1 \) (do Fermat), và dùng phép toán sẽ có \( Q \equiv 0 \mod 43 \).

e. \( C = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{2004} \) (như c) cũng chia hết cho 15.

f. \( M = 21^9 + 21^8 + ... + 21^0 \).

Tương tự,
\[
M = \frac{21^{10} - 1}{20}
\]
Chia cho 2 và 5, sẽ có cả hai điều kiện chia hết.

Tóm lại, với tổng hợp này, các phép tính đều dẫn đến kết quả đúng như hỏi.