Để giải bài toán, ta lần lượt thực hiện các câu hỏi như sau:

### Câu 4: Tính cos α
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \((90^\circ < \alpha < 180^\circ)\).

Ta có:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\left( \frac{3}{5} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]
\[
\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \quad \text{(vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\))}
\]
Vậy:
\[
\cos \alpha = -\frac{4}{5}
\]

### Câu 5: Giải phương trình
Giải phương trình: \(1 + 8 + 15 + 22 + ... + x = 7944\).

Dãy số trên là một cấp số cộng với:
- Số hạng đầu \(a = 1\)
- Số hạng thứ hai \(a_2 = 8\) (có độ biến thiên bậc là \(d = 8 - 1 = 7\))

Số hạng \(n\) có dạng:
\[
a_n = 1 + (n - 1) \cdot 7 = 7n - 6
\]

Tổng của cấp số cộng \(S_n\):
\[
S_n = \frac{n}{2} (a + a_n) = \frac{n}{2} (1 + (7n - 6)) = \frac{n}{2} (7n - 5)
\]
Giải phương trình:
\[
\frac{n}{2} (7n - 5) = 7944
\]
\[
n(7n - 5) = 15888
\]
\[
7n^2 - 5n - 15888 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm Babc:
\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-15888)}}{2 \cdot 7}
\]
\[
= \frac{5 \pm \sqrt{25 + 444816}}{14} = \frac{5 \pm 667}{14}
\]
Nghiệm dương là:
\[
n = \frac{672}{14} = 48
\]

### Câu 6: Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân
Biết số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366.

Cấp số nhân với:
- Số hạng đầu \(a = 18\)
- Số hạng thứ hai \(b = ar = 54\)

Từ đó ta tìm được tỷ số \(r\):
\[
r = \frac{b}{a} = \frac{54}{18} = 3
\]

Giả sử số hạng cuối là \(ar^{n-1} = 39366\):
\[
18 \cdot 3^{n-1} = 39366
\]
\[
3^{n-1} = \frac{39366}{18} = 2187
\]
\[
3^{n-1} = 3^7 \Rightarrow n - 1 = 7 \Rightarrow n = 8
\]

Tổng của cấp số nhân \(S_n\):
\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} = 18 \cdot \frac{3^8 - 1}{3 - 1} = 18 \cdot \frac{6561 - 1}{2} = 18 \cdot 3280 = 59040
\]

### Kết luận
- Câu 4: \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\)
- Câu 5: \(n = 48\)
- Câu 6: \(S = 59040\)