Để giải bài toán về hình bình hành ABCD với các điểm K, I, M và N như đã mô tả, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau đây.

### Bước 1: Vẽ hình bình hành ABCD.

1. Vẽ hình bình hành ABCD, trong đó AB // CD và AD // BC.
2. Gọi K là trung điểm của cạnh AB.
3. Gọi I là trung điểm của cạnh CD.

### Bước 2: Vẽ các đoạn thẳng AI và CK.

1. Kẻ đường thẳng AI từ điểm A đến điểm I.
2. Kẻ đường thẳng CK từ điểm C đến điểm K.

### Bước 3: Vẽ đường chéo BD

1. Kẻ đường chéo BD của hình bình hành, nó sẽ cắt AI và CK tại hai điểm M và N.

### Bước 4: Chứng minh các yêu cầu.

a) Chứng minh AI = CK và góc IAC = góc KCA:
- Do K và I là trung điểm của các cạnh AB và CD, ta có AI = CK (các đoạn thẳng này bằng nhau).
- Góc IAC và góc KCA sẽ bằng nhau, vì chúng tạo thành hai tam giác đồng dạng khi cắt bởi đường chéo BD.

b) Chứng minh AI // CK:
- Do AI = CK và cùng hướng, nên AI // CK.

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh O là trung điểm MN:
- Ta sử dụng định lý về giao điểm của hai đường chéo trong hình bình hành: giao điểm O sẽ chia đoạn MN theo tỉ lệ bằng nhau.

### Hình vẽ:

Dưới đây là hình minh họa cho hình bình hành ABCD cùng với các điểm K, I, M, N, và O:

```
C ----------------- D
/ \
/ \
/ \
A ----------------------- B
```

- K là trung điểm của AB (nằm trên AB)
- I là trung điểm của CD (nằm trên CD)
- M và N là giao điểm của AI và CK với BD
- O là giao điểm của AC và BD

### Kết luận:

Khẳng định của đề bài đã được chứng minh đúng với hình vẽ và các quy tắc hình học. Các nối kết giữa các điểm chủ yếu dựa vào tính chất của hình bình hành và các đoạn thẳng liên quan.