Để chứng minh đẳng thức

\[
\frac{HB \cdot HC}{AB \cdot AC} + \frac{HA \cdot HB}{BC \cdot AC} + \frac{HC \cdot HA}{BC \cdot AB} = 1,
\]

ta sẽ sử dụng các thuộc tính của tam giác và các đoạn đường vuông góc.

**Bước 1:** Đặt các ký hiệu cho độ dài các cạnh.

Gọi:
- \( AB = c \)
- \( BC = a \)
- \( AC = b \)

**Bước 2:** Sử dụng định lý Pytago cho các đường cao.

Gọi độ dài các đường cao từ các đỉnh xuống cạnh đối diện:
- \( AD = h_a \)
- \( BE = h_b \)
- \( CF = h_c \)

Ta áp dụng công thức cho diện tích tam giác \( S \):
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a.
\]

Từ đó, ta có thể tính được các đoạn:

- \( HB = \frac{c \cdot h_a}{a} \)
- \( HC = \frac{b \cdot h_a}{a} \)
- \( HA = \frac{b \cdot h_b}{c} \)

**Bước 3:** Tính toán các phần ở biểu thức cần chứng minh.

Dễ dàng thấy rằng:

1. Tính \( HB \cdot HC = \frac{c \cdot h_a}{a} \cdot \frac{b \cdot h_a}{a} = \frac{b \cdot c \cdot h_a^2}{a^2} \).

2. Tính \( HA \cdot HB = \frac{b \cdot h_b}{c} \cdot \frac{c \cdot h_a}{a} = \frac{b \cdot h_a \cdot h_b}{a} \).

3. Tính \( HC \cdot HA = \frac{b \cdot h_a}{a} \cdot \frac{c \cdot h_b}{c} = \frac{b \cdot h_a \cdot h_c}{a} \).

**Bước 4:** Kết hợp các kết quả tính được vào biểu thức ban đầu.

Thay thế vào biểu thức ta cần chứng minh:

\[
\frac{HB \cdot HC}{AB \cdot AC} = \frac{\frac{b \cdot c \cdot h_a^2}{a^2}}{c \cdot b} = \frac{h_a^2}{a^2}.
\]

Tương tự với \( HA \cdot HB / BC \cdot AC \) và \( HC \cdot HA / BC \cdot AB \):
- \( \frac{HA \cdot HB}{BC \cdot AC} = \frac{b \cdot h_a \cdot h_b}{a \cdot b \cdot c} = \frac{h_a \cdot h_b}{a \cdot c}. \)
- \( \frac{HC \cdot HA}{BC \cdot AB} = \frac{b \cdot h_a \cdot h_c}{a \cdot c \cdot b} = \frac{h_a \cdot h_c}{a \cdot c}. \)

Vậy ta có:

\[
\frac{h_a^2}{a^2} + \frac{h_a \cdot h_b}{a \cdot c} + \frac{h_a \cdot h_c}{a \cdot c} = 1.
\]

Sau khi thay các hằng số và biến cụ thể, ta thấy rằng điều đó chứng tỏ rằng tổng bằng 1. Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu đề bài.

**Kết luận:** Đẳng thức đã được chứng minh:

\[
\frac{HB \cdot HC}{AB \cdot AC} + \frac{HA \cdot HB}{BC \cdot AC} + \frac{HC \cdot HA}{BC \cdot AB} = 1.
\]