Để kiểm tra xem tổng \( E = 5 + 5^3 + 5^5 + \ldots + 5^{203} \) có chia hết cho 31 hay không, chúng ta có thể sử dụng tính chất của số mũ và quy luật chu kỳ của lũy thừa trong modulo.

Trước tiên, chúng ta cần xem xét giá trị của \( 5^n \mod 31 \) cho các giá trị khác nhau của \( n \). Để làm điều này, chúng ta sẽ tính các giá trị lũy thừa của 5 modulo 31 cho đến khi chúng ta phát hiện ra một chu kỳ:

- \( 5^1 \mod 31 = 5 \)
- \( 5^2 \mod 31 = 25 \)
- \( 5^3 \mod 31 = 1 \)

Từ đây, ta nhận thấy rằng \( 5^3 \equiv 1 \mod 31 \). Do đó, mọi số mũ của 5 sẽ lặp lại với chu kỳ 3. Cụ thể:

- \( 5^{3k} \equiv 1 \mod 31 \)
- \( 5^{3k+1} \equiv 5 \mod 31 \)
- \( 5^{3k+2} \equiv 25 \mod 31 \)

Vì vậy, các bậc lẻ trong dãy số mũ của chúng ta sẽ là:

\[
5^1, 5^5, 5^9, \ldots, 5^{201}
\]

Và các bậc có tổng số từ 0 đến 203 sẽ có 102 số hạng (với số hạng đầu là \( 5^1 \) và số hạng cuối là \( 5^{203} \)).

- Số hạng \( 5^{3k} \) (k là số nguyên), đóng góp \( 1 \) khi \( k = 0, 1, 2, \ldots, 67 \) (tương ứng với \( 5^{0}, 5^{3}, \ldots, 5^{201} \)), tức là 68 số hạng đóng góp 1.
- Số hạng \( 5^{3k+1} \) (k là số nguyên), đóng góp \( 5 \) khi \( k = 0, 1, 2, \ldots, 67 \), tức là 68 số hạng đóng góp 5.
- Số hạng \( 5^{3k+2} \) (k là số nguyên), đóng góp \( 25 \) khi \( k = 0, 1, 2, \ldots, 67 \), tức là 67 số hạng đóng góp 25.

Tổng số hạng của mỗi loại:

\[
E \equiv (68 \cdot 1 + 68 \cdot 5 + 67 \cdot 25) \mod 31
\]

Chúng ta thực hiện phép tính này:

\[
= 68 + 340 + 1675 = 2083
\]

Bây giờ ta cần tính \( 2083 \mod 31 \):

Chia 2083 cho 31:

\[
2083 \div 31 \approx 67, \, 31 \times 67 = 2077
\]

Và:

\[
2083 - 2077 = 6
\]

Vì vậy:

\[
2083 \mod 31 = 6
\]

Do đó, \( E \equiv 6 \mod 31 \).

Kết luận: \( E \) không chia hết cho 31.