Để tính góc \(C_2\) trong hình vẽ đã cho, ta cần sử dụng các tính chất của các góc và đường thẳng song song.

**1. Tính số đo góc \(C_2\):**

Vì \(a \parallel b\) và \(D_1 = 55^\circ\), theo tính chất của các góc đồng vị (hoặc góc trong cùng phía), ta có:
\[
C_2 = D_1 = 55^\circ
\]
Vậy, số đo của góc \(C_2\) là \(55^\circ\).

**2. Chứng minh \(b \perp AB\):**

Theo hình vẽ, nếu \(b\) vuông góc với \(AB\), thì góc tạo thành giữa \(b\) và \(AB\) sẽ là \(90^\circ\). Để chứng minh điều này, ta có thể xem xét các góc xung quanh điểm \(B\).

- Tổng của các góc quanh điểm \(B\) phải bằng \(360^\circ\).
- Nếu \(C_1\) (góc bên cạnh \(C_2\)) cũng đã được xác định là \(180° - 55° = 125^\circ\):
\[
\text{Tổng các góc xung quanh } B = C_2 + C_1 + b = 180^\circ \Rightarrow 55^\circ + 125^\circ + b = 180^\circ
\]

Bằng cách này, chúng ta có thể chứng minh tính chất vuông góc giữa \(b\) và \(AB\).

Bạn có thể cần thêm thông tin về hình học để thực hiện các chứng minh chi tiết hơn. Nếu cần, hãy cung cấp thêm dữ liệu!