Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 4x^2 + 2y^2 - 2y(2x + 3) + 2023 \), trước tiên, ta có thể nhóm lại các hạng tử và sắp xếp chúng:

\[
A = 4x^2 + 2y^2 - 4xy - 6y + 2023
\]

Chúng ta sẽ lần lượt xem xét các phần của biểu thức.

### 1. Xét phần \( 4x^2 - 4xy + 2y^2 - 6y \)

Để dễ dàng tìm giá trị nhỏ nhất, ta có thể hoàn thành hình cho hạng tử có chứa \( y \):
\[
2(y^2 - 2xy - 3y)
\]
Ta hoàn thành hình cho hạng tử này. Đặt \( y \) vào trong dấu () và hoàn thành bình phương:
\[
y^2 - (2x + 3)y
\]
Ta sẽ có:
\[
= \left(y - (x + \frac{3}{2})\right)^2 - \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + 3
\]

### 2. Thay vào biểu thức A
\[
A = 4x^2 + 2\left[\left(y - (x + \frac{3}{2})\right)^2 - \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + 3\right] + 2023
\]
\[
= 4x^2 + 2\left(y - (x + \frac{3}{2})\right)^2 - 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + 6 + 2023
\]

### 3. Sắp xếp lại
Tại đây, định nghĩa \( z = y - (x + \frac{3}{2}) \):
\[
A = 4x^2 + 2z^2 - 2\left(x^2 + 3x + \frac{9}{4}\right) + 2029
\]
\[
= 4x^2 + 2z^2 - 2x^2 - 6x - \frac{9}{2} + 2029
\]
\[
= 2x^2 - 6x + 2z^2 + 2029 - \frac{9}{2}
\]

### 4. Tìm giá trị nhỏ nhất
Bây giờ đối với \( 2x^2 - 6x \), ta có thể hoàn thành bình phương:
\[
2(x^2 - 3x) = 2\left((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}\right) = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2}
\]

Thay thế vào \( A \):
\[
A = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + 2z^2 + 2029 - \frac{9}{2} + \frac{9}{2}
\]

### 5. Kết luận
Giá trị nhỏ nhất của \( A \) xảy ra khi cả \( x - \frac{3}{2} = 0 \) và \( z = 0 \) (tức là \( y = x + \frac{3}{2} \)).

Khi đó:
\[
A = 2029 = 2023 + 6
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là:
\[
\boxed{2023}
\]