Tìm lim

Để tìm giới hạn của biểu thức \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{2n^4 - n^2 + n + 2}\), chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Phân tích biểu thức bên trong căn**:
\[
2n^4 - n^2 + n + 2
\]
Ở đây, khi \(n\) trở nên lớn, thành phần có bậc cao nhất là \(2n^4\) sẽ chiếm ưu thế.

2. **Rút ra \(n^4\)**:
Ta có thể lấy \(n^4\) ra khỏi căn bằng cách viết:
\[
\sqrt{2n^4 - n^2 + n + 2} = \sqrt{n^4 \left(2 - \frac{n^2}{n^4} + \frac{n}{n^4} + \frac{2}{n^4}\right)} = \sqrt{n^4} \cdot \sqrt{2 - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3} + \frac{2}{n^4}}
\]
Như vậy, ta có:
\[
= n^2 \sqrt{2 - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3} + \frac{2}{n^4}}
\]

3. **Xét giới hạn khi \(n\) tiến tới vô cùng**:
Khi \(n \to \infty\), các hạng tử \(\frac{1}{n^2}\), \(\frac{1}{n^3}\) và \(\frac{2}{n^4}\) đều tiến tới \(0\). Vậy ta có:
\[
\sqrt{2 - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3} + \frac{2}{n^4}} \to \sqrt{2} \quad \text{khi} \quad n \to \infty
\]

4. **Tính giới hạn**:
Do đó:
\[
\lim_{n \to \infty} \sqrt{2n^4 - n^2 + n + 2} = \lim_{n \to \infty} n^2 \sqrt{2 - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3} + \frac{2}{n^4}} = n^2 \cdot \sqrt{2}
\]
Khi \(n \to \infty\), \(n^2 \cdot \sqrt{2} \to \infty\).

Vậy kết luận:
\[
\lim_{n \to \infty} \sqrt{2n^4 - n^2 + n + 2} = \infty.
\]