Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) thỏa mãn \( x + y = 3 \), ta sẽ bắt đầu từ hệ phương trình đã cho:

\[
\begin{cases}
x + 2y = m + 3 \quad (1) \\
2x - 3y = m \quad (2)
\end{cases}
\]

Ta cần điều kiện cho hệ phương trình này có nghiệm duy nhất.

### Bước 1: Tính định thức
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi định thức của ma trận hệ số khác 0. Ta viết lại hệ phương trình thành ma trận:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & -3
\end{pmatrix}
\]

Định thức \( D \) của ma trận này là:

\[
D = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot 2 = -3 - 4 = -7
\]

Vì \( D \neq 0 \), do đó hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của \( m \).

### Bước 2: Thay thế để tìm \( m \)
Giờ đây chúng ta sẽ thay thế \( y \) từ phương trình \( x + y = 3 \) vào một trong những phương trình. Từ \( x + y = 3 \), ta có:

\[
y = 3 - x
\]

Thay vào phương trình (1):

\[
x + 2(3 - x) = m + 3
\]

Giải phương trình trên ta được:

\[
x + 6 - 2x = m + 3 \\
-x + 6 = m + 3 \\
-x = m - 3 \\
x = 3 - m
\]

Thay vào \( y = 3 - x \):

\[
y = 3 - (3 - m) = m
\]

### Bước 3: Kiểm tra điều kiện
Bây giờ, ta có nghiệm:

\[
(x, y) = (3 - m, m)
\]

Như vậy, với giá trị \( y = m \) và \( x = 3 - m \), hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi \( m \). Bây giờ, đặt điều kiện thỏa mãn \( x + y = 3 \) mà không có thêm điều kiện nào cho \( m \) trong các phương trình.

Vì vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn \( x + y = 3 \) với mọi giá trị của \( m \).

### Kết luận
Mỗi giá trị của \( m \) sẽ cho ta một nghiệm duy nhất \( (x, y) \). Do đó, giá trị của \( m \) là:

\[
\text{Mỗi } m \in \mathbb{R}
\]