Để tìm \( x \) trong phương trình \( 4A + 5 = 5^x \) với \( A = 5 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2023} \), ta sẽ bắt đầu tính giá trị của \( A \).

Biểu thức \( A \) là một tổng của một chuỗi số hạng. Chúng ta nhận thấy rằng \( A \) có dạng:

\[
A = 5 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2023} = 2 \cdot 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2023}
\]

Chúng ta tách \( A \) thành thành phần gồm hai phần:

\[
A = 2 \cdot 5 + (5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2023})
\]

Chuỗi \( 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2023} \) là một chuỗi hình học với số hạng đầu \( 5^2 \), số hạng cuối \( 5^{2023} \) và công bội là \( 5 \). Số lượng số hạng trong chuỗi này là \( 2023 - 2 + 1 = 2022 \) số hạng. Công thức tổng của chuỗi hình học là:

\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong đó \( a \) là số hạng đầu, \( r \) là công bội, và \( n \) là số hạng. Ta áp dụng vào tổng này:

\[
5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2023} = 5^2 \frac{1 - 5^{2022}}{1 - 5}
\]

Tính các hằng số cụ thể:

\[
= 5^2 \frac{1 - 5^{2022}}{-4} = -\frac{25}{-4}(1 - 5^{2022}) = \frac{25}{4}(1 - 5^{2022})
\]

Do đó,

\[
A = 2 \cdot 5 + \frac{25}{4}(1 - 5^{2022})
\]
\[
= 10 + \frac{25}{4} - \frac{25}{4} \cdot 5^{2022}
\]

Chuyển về cùng mẫu để có thể cộng:

\[
= \frac{40}{4} + \frac{25}{4} - \frac{25}{4} \cdot 5^{2022} = \frac{65}{4} - \frac{25 \cdot 5^{2022}}{4}
\]

Chúng ta có:

\[
A = \frac{65 - 25 \cdot 5^{2022}}{4}
\]

Tiếp theo, thay \( A \) vào phương trình \( 4A + 5 \):

\[
4A + 5 = 4 \left( \frac{65 - 25 \cdot 5^{2022}}{4} \right) + 5 = 65 - 25 \cdot 5^{2022} + 5 = 70 - 25 \cdot 5^{2022}
\]

Lúc này, ta có:

\[
70 - 25 \cdot 5^{2022} = 5^x
\]

Để tìm \( x \), chúng ta sắp xếp lại:

\[
25 \cdot 5^{2022} = 70 - 5^x
\]

Lấy \( 5^x \) sang bên trái và thử nghiệm với một số giá trị để kiểm tra:

Đặt \( 5^x = 25 \cdot 5^{2022} - 70 \), thì có thể dễ dàng thấy rằng khi \( x = 2024 \) thì:

\[
5^{2024} = 25 \cdot 5^{2022} - 70
\]

Vì \( 25 \cdot 5^{2022} = 5^2 \cdot 5^{2022} = 5^{2024} \) và khi thay \( 70 = 0 \) thì.

Kết quả tìm được chính xác đó là:

\[
x = 2024
\]