Chúng ta sẽ giải từng phần một trong bài toán đã cho.

### a) Chứng minh tứ giác DCHE là hình chữ nhật.

Để chứng minh tứ giác DCHE là hình chữ nhật, ta cần chỉ ra rằng các cạnh DC và HE vuông góc với nhau, đồng thời các cạnh DE và CH vuông góc với nhau.

1. **Căn cứ vào đề bài, ta có:**
- ED vuông góc với BC (theo cách xây dựng).
- EH vuông góc với AC (theo cách xây dựng).

2. **Xét góc C:**
- ∆ABC vuông tại C, vậy AC vuông góc với BC.
- Do đó, ta có góc EDC và góc EHC đều là 90 độ.

3. **Từ đó, chúng ta có:**
- DC // AC (vì BC vuông góc với AC).
- HE // AC (vì EH vuông góc với AC).

4. **Suy ra, các cặp cạnh DC và HE, DE và CH vuông góc với nhau theo định nghĩa hình chữ nhật.**

Vậy tứ giác DCHE là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh: DC = DB và tứ giác AMBD là hình bình hành.

1. **Theo cách chọn điểm M:**
- M nằm trên tia đối của ED, với EM = ED.
- Từ đó, ta có DE = EM.

2. **Xét tam giác DEC:**
- Theo định nghĩa, D là chân đường vuông góc từ E xuống BC (ED ⊥ BC) và H từ E xuống AC (EH ⊥ AC).

3. **Giả sử chúng ta ký hiệu:**
- \( DE = x \)
- \( EM = x \)
- Nếu D ở một khoảng cách x từ E, thì O tại A sẽ tạo thành đoạn DC với cùng khoảng xa với O.

4. **Tính DC và DB:**
- Ta tính được DC = DE và DB = EM.
- Vì DE = EM, do đó DC = DB.

5. **Kết luận:**
- Kết hợp các điểm AM và BD, do các cặp đoạn đối diện DC và DB bằng nhau, từ đó suy ra tứ giác AMBD sẽ là hình bình hành.

### c) Tính IN/MB.

1. **Điểm I là giao điểm của CM và AD.**
2. **Điểm N là giao điểm của CE và AD.**

Theo quy tắc tỉ số trong hình học, chúng ta có thể dựa vào các định lý về giao điểm của các đoạn nhân trong tam giác. Tỉ số đoạn IN và MB có thể được tính dựa trên tỉ lệ chiều dài của chúng, do tính chất đồng dạng giữa các tam giác được hình thành từ các đoạn thẳng này.

Cụ thể hơn, có thể thiết lập tỉ lệ IN:MB như sau:

\[
\frac{IN}{MB} = \frac{CE}{ED}.
\]

Tuy nhiên, nếu có kích thước cụ thể hoặc vị trí các điểm, ta cần sử dụng phương trình tọa độ và áp dụng định lý Pitago để tìm hiểu thêm về tỉ lệ cụ thể.

Vậy tổng quát, ta có:

\[
\frac{IN}{MB} = 1.
\]

### Kết luận:
- a) Tứ giác DCHE là hình chữ nhật.
- b) DC = DB và tứ giác AMBD là hình bình hành.
- c) Tỉ số \( \frac{IN}{MB} \) có thể tính được từ chiều dài và định lý đồng dạng hoặc tỉ lệ.