Để chứng tỏ rằng \( A \) chia hết cho 6, ta cần chỉ ra rằng \( A \) chia hết cho cả 2 và 3.

Ta có \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 + 2^{10} + 2^{11} + 2^{12} \).

### Chứng tỏ A chia hết cho 2:
Rõ ràng, mọi số hạng trong \( A \) đều là số chẵn vì chúng đều là bội của 2. Do đó, tổng \( A \) cũng là số chẵn và vì vậy \( A \) chia hết cho 2.

### Chứng tỏ A chia hết cho 3:
Ta cần xét biểu thức \( A \) modulo 3.

Sử dụng quy tắc \( 2 \equiv -1 \) modulo 3, ta có:

\[
\begin{align*}
2^1 & \equiv 2 \mod 3,\\
2^2 & \equiv 1 \mod 3,\\
2^3 & \equiv 2 \mod 3,\\
2^4 & \equiv 1 \mod 3,\\
2^5 & \equiv 2 \mod 3,\\
2^6 & \equiv 1 \mod 3,\\
2^7 & \equiv 2 \mod 3,\\
2^8 & \equiv 1 \mod 3,\\
2^9 & \equiv 2 \mod 3,\\
2^{10} & \equiv 1 \mod 3,\\
2^{11} & \equiv 2 \mod 3,\\
2^{12} & \equiv 1 \mod 3.
\end{align*}
\]

Ta có 6 số hạng \( 2 \) và 6 số hạng \( 1 \):

\[
A \equiv 6 \cdot 2 + 6 \cdot 1 \equiv 12 + 6 \equiv 18 \equiv 0 \mod 3.
\]

### Kết luận:
Vì \( A \) chia hết cho 2 và 3, nên \( A \) chia hết cho 6.

Đáp án đã chứng minh \( A \) chia hết cho 6.