Để tính độ dài cạnh \( AB \) trong tam giác \( ABC \) với các thông tin đã cho, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác.

Diện tích \( S \) của tam giác có thể tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \times AC \times BC \times \sin(C)
\]

Trong đó:
- \( AC = 3 \)
- \( BC = 4 \)
- \( S_{abc} = 3\sqrt{3} \)

Từ công thức trên, ta có:

\[
3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin(C)
\]

Tiến hành tính toán:

\[
3\sqrt{3} = 6 \sin(C)
\]

Chia cả hai vế cho 6:

\[
\sin(C) = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Từ đây, ta có thể suy ra \( C = 60^\circ \).

Tiếp theo, áp dụng định lý cosin:

\[
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \times AC \times BC \times \cos(C)
\]

Tính \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \):

\[
AB^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \times \frac{1}{2}
\]
\[
AB^2 = 9 + 16 - 12
\]
\[
AB^2 = 13
\]
\[
AB = \sqrt{13}
\]

Vậy độ dài cạnh \( AB \) là \( \sqrt{13} \).