Để giải quyết bài toán này, ta sẽ từng bước xử lý từng phần:

### a) Chứng minh \( A \) chia hết cho 6

Có \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{12} \). Đây là một cấp số nhân với:

- Số hạng đầu \( a = 2 \)
- Số hạng cuối \( a_n = 2^{12} \)
- Số hạng \( n = 12 \)

Tổng các số hạng của cấp số nhân được tính bởi công thức:

\[
S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]

Trong đó \( q \) là tỷ số chung. Áp dụng công thức cho \( A \):

\[
A = 2 \frac{2^{12} - 1}{2 - 1} = 2 (2^{12} - 1) = 2^{13} - 2
\]

Ta cần kiểm tra \( A \bmod 6 \):

\[
A = 2^{13} - 2 \equiv 0 \mod 6
\]

Bởi vì \( 2^{13} \equiv 2 \mod 6 \), do đó \( A \equiv 0 \mod 6 \). Vậy \( A \) chia hết cho 6.

### b) Tìm số dư khi \( A \) chia cho 31

Để tính \( A = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2023} \), chúng ta có một cấp số nhân khác với:

- Số hạng đầu \( a = 1 \)
- Tỷ số \( q = 5 \)
- Số hạng cuối là \( n = 2023 \)

Ta có:

\[
A = 1 \frac{5^{2024} - 1}{5 - 1} = \frac{5^{2024} - 1}{4}
\]

Ta cần tính \( A \mod 31 \). Xuất phát từ định lý Fermat, ta biết rằng:

\[
5^{30} \equiv 1 \mod 31
\]

Do đó

\[
5^{2024} = 5^{30 \cdot 67 + 14} \equiv 5^{14} \mod 31
\]

Bây giờ tính \( 5^{14} \mod 31 \):

- \( 5^1 \equiv 5 \)
- \( 5^2 \equiv 25 \)
- \( 5^3 \equiv 25 \cdot 5 \equiv 125 \equiv 1 \mod 31 \)

Vì \( 5^3 \equiv 1 \), nên:

\[
5^{14} = (5^3)^4 \cdot 5^2 \equiv 1^4 \cdot 25 \equiv 25 \mod 31
\]

Vậy

\[
5^{2024} - 1 \equiv 25 - 1 \equiv 24 \mod 31
\]

Cuối cùng:

\[
A = \frac{24}{4} \mod 31 \equiv 6 \mod 31
\]

### Kết luận:
- \( A \) chia hết cho 6.
- Số dư khi \( A \) chia cho 31 là 6.