Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một theo đúng yêu cầu.

### a) Giải tam giác vuông ACF

Cho tam giác ACF vuông tại A, với góc ACF = 53 độ và AE = 4 cm. Ta có thể tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác ACF:

1. **Áp dụng Định lý sin trong tam giác ACF:**

\[
\sin(\text{góc ACF}) = \frac{AC}{AF}
\]

Từ đó ta có:

\[
AC = AF \cdot \sin(53^\circ)
\]

Tương tự, với cosin:

\[
\cos(53^\circ) = \frac{AE}{AF}
\]

Ta có:

\[
AF = \frac{AE}{\cos(53^\circ)} = \frac{4}{\cos(53^\circ)}
\]

Thay \(\cos(53^\circ)\) tương ứng với giá trị khoảng 0.6 vào, ta sẽ tính được AF.

2. **Tính AE và AC:** Sử dụng công thức \(AE.AC = AF.AB\) ở phần b.

### b) Chứng minh AE.AC = AF.AB

Trong tam giác ACF, theo định lý lượt chiều:

\[
\sin(\angle ACF) = \frac{AE}{AF} \quad và \quad \sin(\angle AAF) = \frac{AC}{AB}
\]

Multiplying both sides of the above equations, we get:

\[
\sin(53^\circ) \cdot \sin(A) = \frac{AE}{AF} \cdot \frac{AC}{AB}
\]

Do đó, ta có thể đơn giản sự tương ứng này để tìm ra tỉ lệ AE và AC tạo thành phương trình:

\[
AE.AC = AF.AB
\]

### c) Chứng minh tam giác AMN cân

Để chứng minh tam giác AMN cân, ta cần chứng minh AM = AN.

Đầu tiên, quý vị hãy lưu ý rằng góc AMC = góc ANB = 90 độ. Trong tam giác AMN:

- Gọi G là giao điểm của BE và CF (Điểm cao)
- Do góc AMC = 90 độ và góc ANB = 90 độ, suy ra AM vuông góc với BC và AN vuông góc với AB.
- Khi đã có các góc vuông này, ta thấy rằng hai đoạn thẳng AM và AN đều có độ dài từ điểm A đến các đường vuông góc rơi trên các đường thẳng tương ứng.

Vì vậy ta có thể kết luận rằng AM = AN dẫn đến tam giác AMN là tam giác cân.

### Kết luận

Dựa vào việc sử dụng định lý sin và thông qua sự cân đối của tam giác vuông, chúng ta đã chứng minh được rằng tam giác AMN là tam giác cân.