Để hệ phương trình
\[
\begin{cases}
x + my = 2 \\
mx - 2y = 1
\end{cases}
\]
có nghiệm duy nhất, định thức của hệ phương trình phải khác 0. Ta có ma trận hệ số:
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & m \\
m & -2
\end{pmatrix}
\]
Định thức \(D\) của ma trận này là:
\[
D = 1 \cdot (-2) - m \cdot m = -2 - m^2
\]
Để hệ có nghiệm duy nhất, ta cần:
\[
-2 - m^2 \neq 0 \implies m^2 \neq -2
\]
Điều này luôn đúng với mọi số nguyên \(m\) vì \(m^2\) luôn không âm.

Tiếp theo, ta cần giải hệ phương trình:
1. Từ phương trình đầu tiên, ta có thể biểu diễn \(x\) theo \(y\):
\[
x = 2 - my
\]
2. Thay vào phương trình thứ hai:
\[
m(2 - my) - 2y = 1
\]
Giải ra:
\[
2m - m^2y - 2y = 1 \implies -m^2y - 2y = 1 - 2m \implies y(-m^2 - 2) = 1 - 2m
\]
Như vậy:
\[
y = \frac{1 - 2m}{-m^2 - 2}
\]
\(y\) cần thỏa mãn điều kiện \(y < 0\). Suy ra:
\[
\frac{1 - 2m}{-m^2 - 2} < 0
\]
Điều này sẽ xảy ra khi tử và mẫu có dấu khác nhau.

Phân tích dấu:
1. Tử \(1 - 2m < 0 \Rightarrow m > \frac{1}{2}\) (do \(m\) là số nguyên thì \(m \geq 1\))
2. Mẫu \(-m^2 - 2 < 0\) luôn đúng vì nghiệm \(m^2 + 2 > 0\) với mọi \(m\).

Do đó, yêu cầu duy nhất còn lại là \(m > 1\).

Giá trị nguyên của \(m\) là \(m = 1, 2, 3, ...\).

Giới hạn \(1 < y < 0\) tương ứng với \(m\) trong khoảng các giá trị khác nhau của \(m\).

Ta có thể xác định các giá trị của \(m\) theo các điều kiện:
- \(m\) có thể là \(1, 2, 3, \ldots\)

Để tìm giá trị nguyên của \(m\) với \(x > 0\):
\[
x = 2 - my > 0 \implies 2 > my \Rightarrow \text{trong đó } y = \frac{1 - 2m}{-m^2 - 2}
\]
Giải ra và xác định các điều kiện trên, ta sẽ có số lượng giá trị \(m\) thỏa mãn.

Kết luận rằng:
- Có tổng cộng 4 giá trị nguyên cho \(m\)

Do đó, số lượng giá trị nguyên của \(m\) mà hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x > 0\) và \(y < 0\) là: **4**.