Để chứng minh rằng bất phương trình \(2x^2 + y^2 - xy - 3x - y + 2 \geq 0\) luôn đúng với mọi giá trị của \(x\) và \(y\), chúng ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Biểu thức bậc 2**: Ta điều chỉnh biểu thức thành một dạng dễ dàng hơn để xem xét. Một cách làm là sử dụng định lý cơ bản về bất đẳng thức cho đa thức bậc hai.

2. **Xét phương trình bậc hai**: Coi \(y\) như một tham số và xét biểu thức bậc hai theo \(x\):
\[
f(x) = 2x^2 - (3+y)x + (y^2 - y + 2).
\]
Ta cần đảm bảo rằng \(f(x) \geq 0\) với mọi giá trị của \(x\).

3. **Tính discriminant**: Tính delta (\(\Delta\)) của biểu thức bậc hai:
\[
\Delta = (-(3+y))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (y^2 - y + 2) = (3+y)^2 - 8(y^2 - y + 2).
\]
Tính \(\Delta\):
\[
\Delta = 9 + 6y + y^2 - 8(y^2 - y + 2) = 9 + 6y + y^2 - 8y^2 + 8y - 16.
\]
\[
= -7y^2 + 14y - 7.
\]
\[
= -7(y^2 - 2y + 1) = -7(y-1)^2.
\]

4. **Xét dấu của delta**: Vì \(-7(y-1)^2 \leq 0\) với mọi giá trị của \(y\), bất đẳng thức được thoả mãn khi \(y = 1\), tại đây \(\Delta = 0\) và do đó phương trình có nghiệm kép. Điều này có nghĩa là \(f(x)\) luôn không âm với mọi \(x\).

5. **Kết luận**: Do đó, chúng ta kết luận rằng bất phương trình \(2x^2 + y^2 - xy - 3x - y + 2 \geq 0\) luôn đúng với mọi giá trị của \(x\) và \(y\).