Trước tiên, ta cần tính giá trị của \( A \). Để tính giá trị của biểu thức \( A = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2023} \), ta nhận thấy rằng đây là một cấp số nhân với:

- Tổng bậc đầu tiên: \( a = 5 \)
- Công bội \( r = 5 \)
- Số hạng cuối: \( n = 2023 \)

Công thức tổng của cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong trường hợp này, số hạng đầu tiên \( A \) có thể được tính như sau:

\[
A = 5 \frac{5^{2023} - 1}{5 - 1} = 5 \frac{5^{2023} - 1}{4}
\]

Vậy, ta có:

\[
A = \frac{5^{2024} - 5}{4}
\]

Tiếp theo, ta tính giá trị \( 4A + 5 \):

\[
4A = 4 \times \frac{5^{2024} - 5}{4} = 5^{2024} - 5
\]

Do đó:

\[
4A + 5 = (5^{2024} - 5) + 5 = 5^{2024}
\]

Bây giờ, ta cần giải phương trình:

\[
4A + 5 = 5^x
\]

Và từ kết quả ở trên, ta có:

\[
5^{2024} = 5^x
\]

Chỉ ra rằng:

\[
x = 2024
\]

Vậy kết luận là giá trị của \( x \) là:

\[
\boxed{2024}
\]