Để chứng minh rằng \( (5x + 3y) \) chia hết cho 13, trong khi biết rằng \( (4x + 5y) \) chia hết cho 13, chúng ta có thể thực hiện ngay dưới đây:

Giả sử \( 4x + 5y \equiv 0 \mod 13 \). Điều này có nghĩa là \( 4x + 5y = 13k \) cho một số nguyên nào đó \( k \).

Chúng ta có thể biểu diễn \( 5y \) từ \( 4x + 5y \equiv 0 \mod 13 \):

\[
5y \equiv -4x \mod 13
\]

Tiếp theo, để biểu diễn \( 5y \) theo \( x \), chúng ta sẽ nhân cả hai vế của đẳng thức trên với 8 (vì \( 8 \equiv -5^{-1} \mod 13 \)), nhằm tìm được \( y \):

\[
y \equiv -4 \cdot 8x \mod 13 \implies y \equiv -32x \mod 13 \implies y \equiv -6x \mod 13
\]

(Bởi vì \( -32 \mod 13 \equiv -6 \)).

Bây giờ chúng ta sẽ thay \( y \) vào \( 5x + 3y \):

\[
5x + 3y = 5x + 3(-6x) = 5x - 18x = -13x
\]

Suy ra:

\[
5x + 3y \equiv 0 \mod 13
\]

Vậy, \( (5x + 3y) \) chia hết cho 13.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng nếu \( (4x + 5y) \) chia hết cho 13, thì \( (5x + 3y) \) cũng chia hết cho 13 với \( x, y \) thuộc tập hợp số tự nhiên.