Để chứng minh bài toán, ta thực hiện theo các bước sau:

### a) Chứng minh \( KH = BC \cdot \cos A \)

1. **Xác định các đoạn thẳng**:
- Gọi \( H \) là giao điểm của đường thẳng \( BH \) với \( AC \).
- Gọi \( K \) là giao điểm của đường thẳng \( CK \) với \( AB \).

2. **Sử dụng định lý lượng giác**:
- Trong tam giác \( BKC \), theo định nghĩa của cosin, ta có:
\[
\cos A = \frac{KH}{BC}
\]
- Từ đây, suy ra:
\[
KH = BC \cdot \cos A
\]

### b) Chứng minh \( \triangle MKH \) là tam giác đều

1. **Xác định \( M \)**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Xét các đoạn thẳng**:
- Bởi vì \( M \) là trung điểm, ta có \( BM = MC \).

3. **Xét hai tam giác**:
- Ta có \( KM = KH \) (vì \( K \) là đường cao từ \( C \) xuống \( AB \)).
- \( MH = MH \) (đoạn thẳng chung).
- Theo định lý Pythagore, ta có thể chứng minh:
\[
KM = MH = KH
\]

4. **Kết luận**:
- Do đó, \( \triangle MKH \) có ba cạnh bằng nhau, tức là \( \triangle MKH \) là tam giác đều.

### Tổng kết:

- Ta đã chứng minh được \( KH = BC \cdot \cos A \) và \( \triangle MKH \) là tam giác đều.