Để viết biểu thức \( A = (9 + y^2)(x^2 + 4) - (3x + 2y)^2 \) dưới dạng bình phương của một hiệu, ta sẽ làm các bước sau:

1. **Mở rộng các biểu thức**:

- Mở rộng \((9 + y^2)(x^2 + 4)\):
\[
A_1 = 9x^2 + 36 + y^2x^2 + 4y^2
\]

- Mở rộng \((3x + 2y)^2\):
\[
A_2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2
\]

2. **Tính A = A1 - A2**:
\[
A = (9x^2 + 36 + y^2x^2 + 4y^2) - (9x^2 + 12xy + 4y^2)
\]
\[
A = 36 + y^2x^2 - 12xy
\]
\[
A = 36 + y^2x^2 - 12xy = 36 + (y^2x^2 - 12xy)
\]

3. **Nhận dạng A thành bình phương**:
Ta có thể viết \(y^2x^2 - 12xy\) thành:
\[
(yx - 6)^2 = y^2x^2 - 12xy + 36
\]
Do đó:
\[
A = (yx - 6)^2
\]

Vậy, biểu thức đã được viết dưới dạng bình phương của một hiệu là:
\[
A = (yx - 6)^2
\]

### Tính giá trị A tại \( x = 4, y = -\frac{1}{4} \)

1. **Thay giá trị x và y vào A**:
\[
A = \left( -\frac{1}{4} \cdot 4 - 6 \right)^2
\]
\[
= \left( -1 - 6 \right)^2
\]
\[
= (-7)^2 = 49
\]

Vậy, giá trị của biểu thức \( A \) tại \( x = 4, y = -\frac{1}{4} \) là \( 49 \).