Biết BN = 2√5 và mặt phẳng (BMN) cắt các mặt của hình chóp S.ABCD theo các giao tuyến là các cạnh của một đa giác, tính diện tích của đa giác đó?

Để tính diện tích của đa giác mà mặt phẳng (BMN) cắt các mặt của hình chóp S.ABCD, ta cần tìm tọa độ các điểm B, M, N và xác định hình dạng của đa giác.

### Bước 1: Xác định tọa độ các điểm

- Giả sử đặt các điểm như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(3, 0, 0) \)
- \( C(3, 4, 0) \)
- \( D(0, 4, 0) \)
- \( S(1.5, 2, 2\sqrt{7}) \)

### Bước 2: Xác định thông tin của các điểm M và N

- Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng SA:
\[
M = \left(\frac{0 + 1.5}{2}, \frac{0 + 2}{2}, \frac{0 + 2\sqrt{7}}{2}\right) = \left(0.75, 1, \sqrt{7}\right)
\]

- Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng SD:
\[
N = \left(\frac{0 + 1.5}{2}, \frac{4 + 2}{2}, \frac{0 + 2\sqrt{7}}{2}\right) = \left(0.75, 3, \sqrt{7}\right)
\]

### Bước 3: Tính toán mặt phẳng (BMN)

Tìm phương trình mặt phẳng (BMN) dựa vào ba điểm B, M, N.

1. Tìm vectơ BM và BN:
- \( \overrightarrow{BM} = M - B = \left(0.75 - 3, 1 - 0, \sqrt{7} - 0\right) = \left(-2.25, 1, \sqrt{7}\right) \)
- \( \overrightarrow{BN} = N - B = \left(0.75 - 3, 3 - 0, \sqrt{7} - 0\right) = \left(-2.25, 3, \sqrt{7}\right) \)

2. Tính tích vector:
- Tích vectơ \( \overrightarrow{BM} \times \overrightarrow{BN} \) sẽ cho vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BMN).

### Bước 4: Tính diện tích đa giác

Để tính diện tích đa giác cắt bởi mặt phẳng (BMN), ta có thể áp dụng công thức Heron hoặc công thức Shoelace nếu biết tọa độ của các điểm giao nhau.

### Kết luận

Diện tích của đa giác phụ thuộc vào các giao điểm mà mặt phẳng (BMN) cắt các cạnh của hình chóp. Cần tính chính xác các giao điểm và sử dụng công thức diện tích cho đa giác để tìm ra kết quả cuối cùng.